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  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

admin2019-09-04  28
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
选项
答案令φ(x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna，φ(a)=φ(b)=f(b)lna． 由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0． 而φ’(x)=[*]f(x)-f’(x)lnx+f’(z)lna， 所以[*][f(b)-f(ξ)]-f’(ξ)(lnξ-lna)=0，即[*]=ξf’(ξ)．
解析 由f(x)-f’(x)lnx+f’(x)lna=0，或[f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna]’=0，得辅助函数为φ(x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna．
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考研数学三

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