设f(x)在(一∞,+∞)内连续,以T为周期,令F(x)=∫0xf(t)dt.求证: (1)F(x)=kx+φ(x),其中k为某常数,φ(x)是以T为周期的周期函数. (2)∫0Tf(x)dx.

admin2017-07-26  44

问题 设f(x)在(一∞,+∞)内连续,以T为周期,令F(x)=∫0xf(t)dt.求证:
(1)F(x)=kx+φ(x),其中k为某常数,φ(x)是以T为周期的周期函数.
(2)0Tf(x)dx.

选项

答案(1)由φ(x+T)=F(x+T)一k(x+T) =∫0xf(t)dt—kx+∫xx+Tf(t)dt一kT =φ(x)+∫0Tf(t)dt—kT (∫xx+Tf(t)dt=∫0Tf(t)dt) 令k=[*]∫0Tf(t)dt,则φ(x)=F(x)一kx是以T为周期的周期函数.从而有F(x)=kx+φ(x). (2)因为[*]不一定存在,所以不能用洛必塔法则求该极限. 但∫0xf(t)dt可写成: ∫0xf(t)dt=[*]∫0Tf(t)dt+φ(x),φ(x)在(一∞,+∞)连续且以T为周期.于是φ(x)在[0,T]上有界,在(一∞,+∞)上有界,所以, [*] (无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量)

解析 只要确定常数k,使得φ(x)=F(x)一kx以T为周期.
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