2. 考研
  3. 设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，令F(x)=∫0xf(t)dt．求证： (1)F(x)=kx+φ(x)，其中k为某常数，φ(x)是以T为周期的周期函数． (2)∫0Tf(x)dx．

设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，令F(x)=∫0xf(t)dt．求证： (1)F(x)=kx+φ(x)，其中k为某常数，φ(x)是以T为周期的周期函数． (2)∫0Tf(x)dx．

admin2017-07-26  71
问题 设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，令F(x)=∫0xf(t)dt．求证：
(1)F(x)=kx+φ(x)，其中k为某常数，φ(x)是以T为周期的周期函数．
(2)∫0Tf(x)dx．
选项
答案(1)由φ(x+T)=F(x+T)一k(x+T) =∫0xf(t)dt—kx+∫xx+Tf(t)dt一kT =φ(x)+∫0Tf(t)dt—kT (∫xx+Tf(t)dt=∫0Tf(t)dt) 令k=[*]∫0Tf(t)dt，则φ(x)=F(x)一kx是以T为周期的周期函数．从而有F(x)=kx+φ(x)． (2)因为[*]不一定存在，所以不能用洛必塔法则求该极限． 但∫0xf(t)dt可写成： ∫0xf(t)dt=[*]∫0Tf(t)dt+φ(x)，φ(x)在(一∞，+∞)连续且以T为周期．于是φ(x)在[0，T]上有界，在(一∞，+∞)上有界，所以， [*] (无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量)
解析 只要确定常数k，使得φ(x)=F(x)一kx以T为周期．
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考研数学三

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