用正交变换将二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32一2x1x2—2x1x3—2x2x3化为标准型并写出正交变换．

admin2017-08-16 29

问题用正交变换将二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁²+2x₂²+2x₃²一2x₁x₂—2x₁x₃—2x₂x₃化为标准型并写出正交变换．

选项

答案首先写出二次型的系数矩阵为A=[*] A的特征多项式｜λE—A｜=λ(λ一3)²，所以A的特征值为λ₁=λ₂=3，λ₃=0．对于λ₁=λ₂=3解齐次线性方程组(3E—A)X=0，求出基础解系α₁=[*] 对于λ₃=0，解齐次线性方程组(—A)X=0，求出基础解系α₃=[*]．令P=(β₁，β₂，β₃)=[*]，则P为正交矩阵，经过正交变换X=PY，二次型化为标准型f=3y₁²+3y₂²．

解析

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