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设A为m阶正定矩阵,B为m×n实矩阵.证明:BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n.
设A为m阶正定矩阵,B为m×n实矩阵.证明:BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n.
admin
2015-07-10
47
问题
设A为m阶正定矩阵,B为m×n实矩阵.证明:B
T
AB正定的充分必要条件是r(B)=n.
选项
答案
因为(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
(B
T
)
T
=B
T
AB,所以B
T
AB为对称矩阵, 设B
T
AB是正定矩阵,则对任意的X≠0, X
T
B
T
ABX=(BX)
T
A(BX)>0,所以BX≠0,即对任意的X≠0有BX≠0,或方程组BX=0只有零解,所以r(B)=n. 反之,设r(B)=n,则对任意的X≠0,有BX≠0, 因为A为正定矩阵,所以X
T
(B
T
AB)X=(BX)
T
A(BX)>0, 所以B
T
AB为正定矩阵.
解析
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考研数学三
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