求函数z=x2+y2+2x+y在区域D：x2+y2≤1上的最大值与最小值．

admin2016-09-13 44

问题求函数z=x²+y²+2x+y在区域D：x²+y²≤1上的最大值与最小值．

选项

答案由于x²+y²≤1是有界闭区域，z=x²+y²+2x+y在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值． ①解方程组[*] 由于(－1)²+[*]＞1，即(－1，[*])不在区域D内，舍去． ②函数在区域内部无偏导数不存在的点． ③再求函数在边界上的最大值点与最小值点，即求z=x²+y²+2x+y满足约束条件x²+y²=1的条件极值点．此时，z=1+2x+y．用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数L(x，y，λ)=1+2x+y+λ(x²+y²－1)，解方程组[*] 所有三类最值怀疑点仅有两个，由于[*]，所以最小值m=1－[*]，最大值M=1+[*]．

解析

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