给定常数c＞0，定义函数f(x)=2｜x+c+4｜—｜x+c｜．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f(an)，n∈N+．求证：对任意n∈N+，都有an+1一an≥c；

admin2019-01-23 47

问题给定常数c＞0，定义函数f(x)=2｜x+c+4｜—｜x+c｜．数列a₁，a₂，a₃，…满足a_n+1=f(a_n)，n∈N₊．
求证：对任意n∈N₊，都有a_n+1一a_n≥c；

选项

答案因为c＞0，故 ①x≥一c时，f(x)=2(x+c+4)一(x+c)=x+c+8，则a_n+1一a_n=f(a_n)一a_n=a_n+c+—8一a_n=c+8＞c； ②当一c一4≤x＜一c时，f(x)=2(x+c+4)+(x+c)=3x+3c+8，则a_n+1一a_n=f(a_n)一a_n=3a_n+3c+8一a_n=2a_n+3c+8≥2(一c一4)+3c+8=c； ③当x＜一c一4时，f(x)=一2(x+c+4)+(x+c)=一x—c一8，则a_n+1一a_n=f(a_n)一a_n=一a_n一c一8一a_n=—2a_n一c一8＞一2(一c一4)一c一8=c．所以，对于任意n∈N₊，都有a_n+1一a_n≥c．

解析

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给定常数c＞0，定义函数f(x)=2｜x+c+4｜—｜x+c｜．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f(an)，n∈N+．求证：对任意n∈N+，都有an+1一an≥c；

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设z是复数，a(z)表示满足zn=1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)=

已知a，b，c既成等差数列又成等比数列，设α、β是方程ax2+bx－c=0的两根，且α>β，则α3β－αβ3为

等差数列{an)的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝()。

设x∈，则的最大值和最小值分别是()。

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数列的通项公式为()。

已知函数y=f(x)=，(1)求函数y=f(x)的图象在x=处的切线方程；(2)求y=f(x)的最大值；(3)设实数a＞，求函数F(x)=af(x)在[a，2a]上的最小值。

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