设矩阵矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,求对角矩阵Λ,使B与Λ相似.并求k为何值时,B为正定矩阵.

admin2019-12-26  28

问题 设矩阵矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,求对角矩阵Λ,使B与Λ相似.并求k为何值时,B为正定矩阵.

选项

答案【解法1】矩阵A的特征多项式为 [*] 由此得A的特征值λ1=0,λ23=2.于是矩阵kE+A的特征值为k和k+2(二重),而矩阵B=(kE+A)2的特征值为k2和(k+2)2(二重).令矩阵 [*] 由B~Λ. 要使矩阵B为正定矩阵,只需其特征值全大于零.因此当k≠0且k≠-2时,B为正定矩阵. 【解法2】 同解法1,首先求得矩阵A的特征值λ1=0,λ23=2.记对角矩阵 [*] 因为A为实对称矩阵,故存在正交矩阵P,使得 PTAP=D. 所以 A=(PT)-1DP-1=PDPT, [*] 由此可得 [*] 由上面的结果立刻得到,当k≠0且后≠-2时,B为正定矩阵.

解析
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