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设矩阵矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,求对角矩阵Λ,使B与Λ相似.并求k为何值时,B为正定矩阵.
设矩阵矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,求对角矩阵Λ,使B与Λ相似.并求k为何值时,B为正定矩阵.
admin
2019-12-26
59
问题
设矩阵
矩阵B=(kE+A)
2
,其中k为实数,求对角矩阵Λ,使B与Λ相似.并求k为何值时,B为正定矩阵.
选项
答案
【解法1】矩阵A的特征多项式为 [*] 由此得A的特征值λ
1
=0,λ
2
=λ
3
=2.于是矩阵kE+A的特征值为k和k+2(二重),而矩阵B=(kE+A)
2
的特征值为k
2
和(k+2)
2
(二重).令矩阵 [*] 由B~Λ. 要使矩阵B为正定矩阵,只需其特征值全大于零.因此当k≠0且k≠-2时,B为正定矩阵. 【解法2】 同解法1,首先求得矩阵A的特征值λ
1
=0,λ
2
=λ
3
=2.记对角矩阵 [*] 因为A为实对称矩阵,故存在正交矩阵P,使得 P
T
AP=D. 所以 A=(P
T
)
-1
DP
-1
=PDP
T
, [*] 由此可得 [*] 由上面的结果立刻得到,当k≠0且后≠-2时,B为正定矩阵.
解析
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考研数学三
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