2. 考研
  3. 设f(x)为偶函数，且满足f’(x)+2f(x)-3∫0xf(t-x)dt=-3x+2，求f(x)．

设f(x)为偶函数，且满足f’(x)+2f(x)-3∫0xf(t-x)dt=-3x+2，求f(x)．

admin2022-11-02  18
问题 设f(x)为偶函数，且满足f’(x)+2f(x)-3∫0xf(t-x)dt=-3x+2，求f(x)．
选项
答案∫0xf(t-x)dt=-∫0xf(t-x)d(x-t)=-∫x0f(-u)du=∫0xf(u)du，则有f’(x)+2f(x)=3∫0xf(u)du=-3x+2，因为f(x)为偶函数，所以f’(x)是奇函数，于是f’(0)=0，代入上式得f(0)=1．将f’(x)+2f(x)-3∫0xf(u)du=-3x+2两边对x求导得F’(x)+2f’(x)-3f(x)=-3，其通解为f(x)=C1ex+C2e-3x+1，将初始条件代入得f(x)=1．
解析
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考研数学三

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