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  3. 设f(x)为连续函数， 证明：∫0πxf(sinx)dx=π/2∫0πf(sinx)dx=π∫0π/2f(sinx)dx；

设f(x)为连续函数， 证明：∫0πxf(sinx)dx=π/2∫0πf(sinx)dx=π∫0π/2f(sinx)dx；

admin2022-10-27  3
问题 设f(x)为连续函数，
证明：∫0πxf(sinx)dx=π/2∫0πf(sinx)dx=π∫0π/2f(sinx)dx；
选项
答案令I=∫0πxf(sinx)dx，则 I=∫0πxf(sinx)dx[*]∫0π(π-t)f(sint)(-dt)=∫0π(π-t)f(sint)dt =∫0π(π-x)f(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx-∫0πxf(sinx)dx =π∫0πf(sinx)dx-1， 则I=∫0πxf(sinx)dx=[*]∫0πf(sinx)dx=π∫0π/2f(sinx)dx．
解析
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考研数学一

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