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设函数f在[a,b]上有定义,且对任给的ε>0,存在[a,b]上的可积函数g,使得|f(x)-g(x)|<ε,x∈[a,b].证明f在[a,b]上可积.
设函数f在[a,b]上有定义,且对任给的ε>0,存在[a,b]上的可积函数g,使得|f(x)-g(x)|<ε,x∈[a,b].证明f在[a,b]上可积.
admin
2022-11-23
13
问题
设函数f在[a,b]上有定义,且对任给的ε>0,存在[a,b]上的可积函数g,使得|f(x)-g(x)|<ε,x∈[a,b].证明f在[a,b]上可积.
选项
答案
因为f(x)=f(x)-g(x)+g(x),x∈[a,b],g(x)在[a,b]上可积,所以对任给的ε>0,存在相应的分割T.使得[*]ω
i
(g)△x
i
<ε.其中w
i
(g)表示g(x)在小区间△
i
上的振幅. 又ω
i
(f)≤ω
i
(f-g)+ω
i
(g),因此[*]ω
i
(f)△x
i
≤[*]ω
i
(f-g)△x
i
+[*]ω
i
(g)△x
i
,而[*]ω
i
(f-g)△x
i
<2ε(b-a),故[*]ω
i
(f)△x
i
<(2(b-a)+1)ε.从而f在[a,b]上可积.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/IegD777K
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考研数学一
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