2. 考研
  3. 设函数f在[a，b]上有定义，且对任给的ε＞0，存在[a，b]上的可积函数g，使得｜f(x)-g(x)｜＜ε，x∈[a，b]．证明f在[a，b]上可积．

设函数f在[a，b]上有定义，且对任给的ε＞0，存在[a，b]上的可积函数g，使得｜f(x)-g(x)｜＜ε，x∈[a，b]．证明f在[a，b]上可积．

admin2022-11-23  15
问题 设函数f在[a，b]上有定义，且对任给的ε＞0，存在[a，b]上的可积函数g，使得｜f(x)-g(x)｜＜ε，x∈[a，b]．证明f在[a，b]上可积．
选项
答案因为f(x)=f(x)-g(x)+g(x)，x∈[a，b]，g(x)在[a，b]上可积，所以对任给的ε＞0，存在相应的分割T．使得[*]ωi(g)△xi＜ε．其中wi(g)表示g(x)在小区间△i上的振幅． 又ωi(f)≤ωi(f-g)+ωi(g)，因此[*]ωi(f)△xi≤[*]ωi(f-g)△xi+[*]ωi(g)△xi，而[*]ωi(f-g)△xi＜2ε(b-a)，故[*]ωi(f)△xi＜(2(b-a)+1)ε．从而f在[a，b]上可积．
解析
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考研数学一

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