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设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0。 证明对任何a∈[0,1],有 ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。
设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0。 证明对任何a∈[0,1],有 ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。
admin
2019-02-23
49
问题
设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f
’
(x)≥0,g
’
(x)≥0。
证明对任何a∈[0,1],有
∫
0
a
g(x)f
’
(x)dx+∫
0
1
f(x)g
’
(x)dx≥f(a)g(1)。
选项
答案
设 F(x)=∫
0
x
g(t)f
’
(t)dt+∫
0
1
f(t)g
’
(t)dt一f(x)g(1), 则F(x)在[0,1]上的导数连续,并且 F
’
(x)=g(x)f
’
(x)-f
’
(x)g(1)=f
’
(x)[g(x)一g(1)],由于x∈[0,1]时,f
’
(x)≥0,g
’
(x)≥0,因此F
’
(x)≤0,即F(x)在[0,1]上单调递减。 注意到 F(1)=∫
0
1
g(t)f
’
(t)dt+∫
0
1
f(t)g
’
(t)dt一f(1)g(1), 而又因为 ∫
0
1
g(t)f
’
(t)dt=∫
0
1
g(t)df(t)=g(t)f(t)|
0
1
—∫
0
1
f(t)g
’
(t)dt =f(1)g(1)一∫
0
1
f(t)g
’
(t)dt, 故F(1)=0。 因此x∈[0,1]时,F(x)≥F(1)=0,由此可得对任何a∈[0,1],有 ∫
0
a
g(x)f
’
(x)dx+∫
0
1
f(x)g
’
(x)dx≥f(a)g(1)。
解析
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考研数学二
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