求二元函数z=f（x，y）=x2y（4—x—y）在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。

admin2017-12-29 52

问题求二元函数z=f（x，y）=x²y（4—x—y）在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。

选项

答案先求在D内的驻点，即 [*] 因此在D内只有驻点[*]相应的函数值为（2，1）=4。再求f（x，y）在D边界上的最值（1）在x轴上y=0，所以f（x，0）=0。（2）在y轴上x=0，所以f（0，y）=0。（3）在x+y =6上，将y=6—x代入f（x，y）中，得 f（x，y）=2x²（x—6），因此f_x^’=6x²—24x=0。得x=0（舍），x=4。所以y=6—x=2。于是得驻点[*]相应的函数值f（4，2）=x²y（4 —x— y）|_（4．2）=— 64。综上所述，最大值为f（2，1）=4，最小值为f（4，2）=— 64。

解析

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