2. 考研
  3. 已知n阶矩阵A，B，C，其中B，C均可逆，且2A=AB一1+C，则A=( )．

已知n阶矩阵A，B，C，其中B，C均可逆，且2A=AB一1+C，则A=( )．

admin2016-12-16  45
问题 已知n阶矩阵A，B，C，其中B，C均可逆，且2A=AB一1+C，则A=(     )．
选项 A、C(2E一B)
B、
C、B(2B一E)一1C
D、C(2B一E)一1B
答案D
解析 解矩阵方程常先作恒等变形，其次要正确运用矩阵的运算法则，将待求矩阵化为因子矩阵．做乘法时，要说清楚是左乘还是右乘，特别要注意(A±B)一1 ≠A一1 ±B一1 ．
由于2A=AB一1+C，有
2A一AB一1=C，且  A(2E一B一1 )=C，
又C可逆，则
A(2E—B一1 )C一1=E，
故A可逆，且得
A=[(2E一B一1 )C一1 ]一1=C(2B一1  B—B一1 )一1
=C[B一1 (2B一E)]一1=C(2B一E)一1 B．仅(D)入选．
注意  化简(2E—B一1 )一1 时常见下述错误：
(2E一B一1 )一1=(2E)一1一(B一1 )一1=E一B，或 (2E一B一1 )一1=2E一B．
这是把可逆的性质与矩阵转置的性质相混淆造成的，一定要防止这种错误！
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考研数学三

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