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在n阶方阵A=(aij)中,aij>0且(i=1,2,…,n), (Ⅰ)证明:无论n取何正整数,A的特征值总有一个是1; (Ⅱ)当Bm=Am(m是正整数)时,对于n=2的情况,试求。
在n阶方阵A=(aij)中,aij>0且(i=1,2,…,n), (Ⅰ)证明:无论n取何正整数,A的特征值总有一个是1; (Ⅱ)当Bm=Am(m是正整数)时,对于n=2的情况,试求。
admin
2016-02-27
66
问题
在n阶方阵A=(a
ij
)中,a
ij
>0且
(i=1,2,…,n),
(Ⅰ)证明:无论n取何正整数,A的特征值总有一个是1;
(Ⅱ)当B
m
=A
m
(m是正整数)时,对于n=2的情况,试求
。
选项
答案
(Ⅰ)由矩阵A的行和为1,可设α=(1,1,…,1)
T
,则有 Aα=α, 故A有特征值1。 (Ⅱ)当n=2时,由a
ij
>0及[*], 可设[*] 其中0<a<1,0<b<1。 特征多项式为|λE-A|=(λ-1)(λ-1+a+b),故特征根为1和1-a-b,且 [*] 即(1,1)
T
和(a,-b)
T
分别是属于特征值为1和1-a-b的特征向量,所以有 [*]
解析
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考研数学二
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