在n阶方阵A=(aij)中，aij＞0且(i=1，2，…，n)， (Ⅰ)证明：无论n取何正整数，A的特征值总有一个是1； (Ⅱ)当Bm=Am(m是正整数)时，对于n=2的情况，试求。

admin2016-02-27 44

问题在n阶方阵A=(a_ij)中，a_ij＞0且

(i=1，2，…，n)，
(Ⅰ)证明：无论n取何正整数，A的特征值总有一个是1；
(Ⅱ)当B_m=A^m(m是正整数)时，对于n=2的情况，试求

。

选项

答案(Ⅰ)由矩阵A的行和为1，可设α=(1，1，…，1)^T，则有 Aα=α，故A有特征值1。 (Ⅱ)当n=2时，由a_ij＞0及[*]，可设[*] 其中0＜a＜1，0＜b＜1。特征多项式为｜λE-A｜=(λ-1)(λ-1+a+b)，故特征根为1和1-a-b，且 [*] 即(1，1)^T和(a，-b)^T分别是属于特征值为1和1-a-b的特征向量，所以有 [*]

解析

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