2. 考研
  3. 在n阶方阵A=(aij)中，aij＞0且(i=1，2，…，n)， (Ⅰ)证明：无论n取何正整数，A的特征值总有一个是1； (Ⅱ)当Bm=Am(m是正整数)时，对于n=2的情况，试求。

在n阶方阵A=(aij)中，aij＞0且(i=1，2，…，n)， (Ⅰ)证明：无论n取何正整数，A的特征值总有一个是1； (Ⅱ)当Bm=Am(m是正整数)时，对于n=2的情况，试求。

admin2016-02-27  56
问题 在n阶方阵A=(aij)中，aij＞0且(i=1，2，…，n)，
(Ⅰ)证明：无论n取何正整数，A的特征值总有一个是1；
(Ⅱ)当Bm=Am(m是正整数)时，对于n=2的情况，试求。
选项
答案(Ⅰ)由矩阵A的行和为1，可设α=(1，1，…，1)T，则有 Aα=α， 故A有特征值1。 (Ⅱ)当n=2时，由aij＞0及[*]， 可设[*] 其中0＜a＜1，0＜b＜1。 特征多项式为｜λE-A｜=(λ-1)(λ-1+a+b)，故特征根为1和1-a-b，且 [*] 即(1，1)T和(a，-b)T分别是属于特征值为1和1-a-b的特征向量，所以有 [*]
解析
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考研数学二

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