2. 考研
  3. 设L：Y＝f(x)为过点M(0，1)且位于第一象限的增函数，P(x0，y0)为曲线L上任意一点，已知曲线位于M到P之间的弧长与[0，x0]上曲边梯形的面积相等． (Ⅰ)求该曲线y＝f(x)； (Ⅱ)证明：有且仅有一点c∈(0，1)，使得[0，c]上以f(c

设L：Y＝f(x)为过点M(0，1)且位于第一象限的增函数，P(x0，y0)为曲线L上任意一点，已知曲线位于M到P之间的弧长与[0，x0]上曲边梯形的面积相等． (Ⅰ)求该曲线y＝f(x)； (Ⅱ)证明：有且仅有一点c∈(0，1)，使得[0，c]上以f(c

admin2021-03-16  59
问题 设L：Y＝f(x)为过点M(0，1)且位于第一象限的增函数，P(x0，y0)为曲线L上任意一点，已知曲线位于M到P之间的弧长与[0，x0]上曲边梯形的面积相等．
(Ⅰ)求该曲线y＝f(x)；
(Ⅱ)证明：有且仅有一点c∈(0，1)，使得[0，c]上以f(c)为高的矩形的面积与[c，1]上以y＝f(x)为曲边的曲边梯形的面积相等．
选项
答案(Ⅰ)M到P之间的弧长为[*] 曲边梯形的面积为[*] 由题意得[*] 两边求导得[*] 解得[*]，或[*]，积分得 [*] 因为曲线L经过(0，1)，所以C＝0，故y＝f(x)＝[*] (Ⅱ)S1(c)＝cf(c)，S2(c)＝∫c1f(t)dt， 令[*](x)＝S1(x)－S2(x)＝xf(x)－∫x1f(t)dt， 再令F(x)＝x∫1xf(t)dt，显然F’(x)＝[*](x)， 因为F(0)＝F(1)＝0，所以由罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得F’(c)＝0，或[*](c)＝0， 即存在点c∈(0，1)，使得[0，c]上以f(c)为高的矩形的面积与[c，1]上以y＝f(x)为 曲边的曲边梯形的面积相等； [*](x)＝2f(x)＋xf’(x)＝ex＋e－x＋[*](ex－e－x)＞0(0＜x＜1)， 则[*](x)在[0，1]上单调递增，故c∈(0，1)是唯一的．
解析
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考研数学二

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