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  3. [2015年] 设矩阵A=相似于矩阵B= 求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

[2015年] 设矩阵A=相似于矩阵B= 求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

admin2021-01-19  29
问题 [2015年]  设矩阵A=相似于矩阵B=
求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．
选项
答案先求出B的特征值即得A的特征值，再求出A的线性无关的特征向量，以此为列向量，即可求得可逆矩阵P使P-1AP为对角矩阵． 由∣λE—B∣=[*]=(λ一1)2(λ一5)=0，得到B的特征值为λ1=λ2=1，λ3=5．因A与B相似，故A的特征值也为λ1=λ2=1，λ3=5． 下求A的属于特征值的特征向量．将λ1=λ2=1代入(λE—A)X=0得(E—A)X=0， 由E—A=[*]及基础解系的简便求法即得属于λ1=λ2=1的线性无关的特征向量：α1=[2，1，0]T，α2=[一3，0，1]T． 解(λ3E一A)X=0，即解(5E—A)X=0，由5E—A=[*]，及基础解系的简便求法得到A的属于特征值λ3=5的特征向量：α3=[一1，一1，1]T． 易验证α1，α2，α3线性无关，因而A与对角阵相似．令P=[α1，α2，α3]，则易验证有 P-1AP=[*]
解析
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考研数学二

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