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[2015年] 设矩阵A=相似于矩阵B= 求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.
[2015年] 设矩阵A=相似于矩阵B= 求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.
admin
2021-01-19
31
问题
[2015年] 设矩阵A=
相似于矩阵B=
求可逆矩阵P,使P
-1
AP为对角矩阵.
选项
答案
先求出B的特征值即得A的特征值,再求出A的线性无关的特征向量,以此为列向量,即可求得可逆矩阵P使P
-1
AP为对角矩阵. 由∣λE—B∣=[*]=(λ一1)
2
(λ一5)=0,得到B的特征值为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=5.因A与B相似,故A的特征值也为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=5. 下求A的属于特征值的特征向量.将λ
1
=λ
2
=1代入(λE—A)X=0得(E—A)X=0, 由E—A=[*]及基础解系的简便求法即得属于λ
1
=λ
2
=1的线性无关的特征向量:α
1
=[2,1,0]
T
,α
2
=[一3,0,1]
T
. 解(λ
3
E一A)X=0,即解(5E—A)X=0,由5E—A=[*],及基础解系的简便求法得到A的属于特征值λ
3
=5的特征向量:α
3
=[一1,一1,1]
T
. 易验证α
1
,α
2
,α
3
线性无关,因而A与对角阵相似.令P=[α
1
,α
2
,α
3
],则易验证有 P
-1
AP=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Iu84777K
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考研数学二
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