[2015年] 设矩阵A=相似于矩阵B= 求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.

admin2021-01-19  31

问题 [2015年]  设矩阵A=相似于矩阵B=
求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.

选项

答案先求出B的特征值即得A的特征值,再求出A的线性无关的特征向量,以此为列向量,即可求得可逆矩阵P使P-1AP为对角矩阵. 由∣λE—B∣=[*]=(λ一1)2(λ一5)=0,得到B的特征值为λ12=1,λ3=5.因A与B相似,故A的特征值也为λ12=1,λ3=5. 下求A的属于特征值的特征向量.将λ12=1代入(λE—A)X=0得(E—A)X=0, 由E—A=[*]及基础解系的简便求法即得属于λ12=1的线性无关的特征向量:α1=[2,1,0]T,α2=[一3,0,1]T. 解(λ3E一A)X=0,即解(5E—A)X=0,由5E—A=[*],及基础解系的简便求法得到A的属于特征值λ3=5的特征向量:α3=[一1,一1,1]T. 易验证α1,α2,α3线性无关,因而A与对角阵相似.令P=[α1,α2,α3],则易验证有 P-1AP=[*]

解析
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