首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)为[a,b]上的函数且满足则称f(x)为[a,b]上的凹函数,证明: (1)若f(x)在[a,b]上二阶可微,且f"(x)>0,则f(x)为[a,b]上的凹函数. (2)若f(x)为[a,b]上的有界凹函数,则下列结论成立:
设f(x)为[a,b]上的函数且满足则称f(x)为[a,b]上的凹函数,证明: (1)若f(x)在[a,b]上二阶可微,且f"(x)>0,则f(x)为[a,b]上的凹函数. (2)若f(x)为[a,b]上的有界凹函数,则下列结论成立:
admin
2019-07-22
105
问题
设f(x)为[a,b]上的函数且满足
则称f(x)为[a,b]上的凹函数,证明:
(1)若f(x)在[a,b]上二阶可微,且f"(x)>0,则f(x)为[a,b]上的凹函数.
(2)若f(x)为[a,b]上的有界凹函数,则下列结论成立:
(i)
∈[0,1],f(λx
1
+(1一λ)x
2
)≤λf(x
1
)+(1—λ)f(x
2
),x
1
,x
2
∈[a,b];
(iv)f(x)为(a,b)上的连续函数.
选项
答案
(1)对[*]x,x
0
∈[a,b],有 f(x)=f(x
0
)+f’(x
0
)(x一x
0
)+[*](x-x
0
)
2
>f(x
0
)+f’(x
0
)(x—x
0
),在上式中分别取x=x
1
,x=x
2
,[*]得到 [*] 上述两式相加即得证. (2)先证(i).由(1)有f(x)≥f(x
0
)+f’(x
0
)(x—x
0
),分别取x=x
1
,x=x
2
,x
0
=λx
1
+(1一λ)x
2
,得到 f(x
1
)≥f(x
0
)+(1一λ)f’(x
0
)(x
1
—x
2
), ① f(x
2
)≥f(x
0
)+λf’(x
0
)(x
2
一x
1
). ② λ×①+(1一λ)×②得 λf(x
1
)+(1-λ)f(x
2
)≥f(x
0
)=f(λx
1
+(1一λ)x
2
), 得证[*] 再证(iv).[*]∈[a,b],设G为|f(x)|的上界,取绝对值充分小的δ,m<n,使得 x
1
=x
2
=…=x
m
=x+nδ,x
m+1
=…=x
n
=x.由(ii)知 [*] 令δ→0,则n→∞,故有f(x+δ)一f(x)→0,从而证明了f(x)的连续性.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bQN4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
函数f(x)=xsinx()
求曲线y=cosχ()与χ轴围成的区域绕χ轴、y轴形成的几何体体积.
设f(a)=f(b)=0,∫abf2(χ)dχ=1,f′(χ)∈C[a,b].(1)求∫abχf(χ)f′(χ)dχ;(2)证明:∫abf′2(χ)dχ∫abχ2f2(χ)dχ≥.
=_______(其中a为常数).
设可微函数f(χ,y)在点(χ0,y0)处取得极小值,则下列结论正确的是().
设f(χ),g(χ)(a<χ<b)为大于零的可导函数,且f′(χ)g(χ)-f(χ)g′(χ)<0,则当a<χ<b时,有().
设α1=(1,2,0)T,α2=(1,a+2,-3a)T,α3=(-1,-b-2.a+2b)T.β=(1,3,-3)T.试讨论当a,b为何值时,(1)β不能用α1,α2,α3线性表示;(2)β能用α1,α2,α3唯一地线性表示,求表示式
设,且f(x)~f’(x),g(x)~g’(x)(x→a).(Ⅰ)当x→a时f(x)与g(x)可比较,不等价,求证:f(x)-g(x)~f’(x)-g’(x)(x→a);(Ⅱ)当0<|x-a<δ时f(x)与f’(x)均为正值,求证:(其中一端极限存
设f(x)在[a,b]有连续的导数,求证:|∫abf(x)dx|+∫ab|f’(x)|dx.
求下列定积分:(Ⅰ)I=∫0πsin2xarctanexdx.
随机试题
两个频率相同的正弦量的相位差为180°,叫做同相。()
分泌黄体生成素的器官是
A、硫酸亚铁B、叶酸、维生素B12C、白消氨D、苯丁酸氮芥E、雄激素慢性粒细胞白血病首选()
A、内分泌失调B、舔唇不良习惯C、机体抵抗力下降D、残根残冠刺激E、消化不良慢性唇炎病因是
A.叶酸B.次黄嘌呤C.谷氨酰胺D.胸腺嘧啶E.尿酸5-氟尿嘧啶的化学结构类似于
有关双气囊三腔管的护理,正确的是( )。【历年考试真题】
为了贯彻实施安全生产管理制度,工程承包企业应结合自身实际情况建立健全本企业的安全生产规章制度,一般包括()等。
下图为黄土高原局部地区等高线图,实线是黄土表面等高线,虚线是黄土底面(基岩表面)等高线(单位:米)。读图完成。3月21日傍晚,假如天气晴朗,最有可能看到日落的地点是()。
“红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒,问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒?()
RadioandTelevisionRadioandtelevisionweremajoragentsofsocialchangeinthe20thcentury.Radiowasoncethecenter
最新回复
(
0
)