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设A是3阶矩阵，α1,α2,α3都是3维非零列向量，满足Aαi=iαi，(i=1，2，3)．记α=α1+α2+α3. ① 证明α，Aα，A2α线性无关． ② 设P=(α，Aα，A2α)，求P-1AP．
设A是3阶矩阵，α1,α2,α3都是3维非零列向量，满足Aαi=iαi，(i=1，2，3)．记α=α1+α2+α3. ① 证明α，Aα，A2α线性无关． ② 设P=(α，Aα，A2α)，求P-1AP．
admin
2020-06-11
58
问题
设A是3阶矩阵，α
1
,α
2
,α
3
都是3维非零列向量，满足Aα
i
=iα
i
，(i=1，2，3)．记α=α
1
+α
2
+α
3
.
① 证明α，Aα，A2α线性无关．
② 设P=(α，Aα，A
2
α)，求P
-1
AP．
选项
答案
条件说明α
1
,α
2
,α
3
都是A的特征向量，特征值依次为1，2，3，因此α
1
,α
2
,α
3
线性无关． ① α=α
1
+α
2
+α
3
，Aα=α
1
+2α
2
+3α
3
，A
2
α=α
1
+4α
2
+9α
3
，用矩阵分解，矩阵P=(α，Aα，A
2
α)=(α
1
+α
2
+α
3
，α
1
+2α
2
+3α
3
，α
1
+4α
2
+9α
3
)[*][*]的行列式为2，因此是可逆矩阵．于是r(α，Aα，A2α)=r(P)=r(α
1
,α
2
,α
3
)=3，α，Aα，A
2
α线性无关．② 记P
一1
AP=B，则AP=PB，即(Aα，A
2
α，A
3
α)=(α，Aα，A
2
α)B．于是B是向量组Aα，A
2
α，A
3
α对α，Aα，A
2
α的表示矩阵．显然其第1，2两列分别为(0，1，0)
T
和(0，0，1)
T
．第3列是A
3
α对α，A
3
α，A
2
α的表示系数，设为c
1
，c
2
，c
3
，则P(c
1
，c
2
，c
3
)
T
=A
3
α， 注意A
3
α=α
1
+8α
2
+27α
3
，于是[*] 因为(α
1
,α
2
,α
3
)是可逆矩阵，所以有[*]用初等变换法求得c
1
=6，c
2
=一1 1，c
3
=6，于是[*]
解析
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考研数学二
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