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设A是3阶矩阵,α1,α2,α3都是3维非零列向量,满足Aαi=iαi,(i=1,2,3).记α=α1+α2+α3. ① 证明α,Aα,A2α线性无关. ② 设P=(α,Aα,A2α),求P-1AP.
设A是3阶矩阵,α1,α2,α3都是3维非零列向量,满足Aαi=iαi,(i=1,2,3).记α=α1+α2+α3. ① 证明α,Aα,A2α线性无关. ② 设P=(α,Aα,A2α),求P-1AP.
admin
2020-06-11
61
问题
设A是3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
都是3维非零列向量,满足Aα
i
=iα
i
,(i=1,2,3).记α=α
1
+α
2
+α
3
.
① 证明α,Aα,A2α线性无关.
② 设P=(α,Aα,A
2
α),求P
-1
AP.
选项
答案
条件说明α
1
,α
2
,α
3
都是A的特征向量,特征值依次为1,2,3,因此α
1
,α
2
,α
3
线性无关. ① α=α
1
+α
2
+α
3
,Aα=α
1
+2α
2
+3α
3
,A
2
α=α
1
+4α
2
+9α
3
,用矩阵分解,矩阵P=(α,Aα,A
2
α)=(α
1
+α
2
+α
3
,α
1
+2α
2
+3α
3
,α
1
+4α
2
+9α
3
)[*][*]的行列式为2,因此是可逆矩阵.于是r(α,Aα,A2α)=r(P)=r(α
1
,α
2
,α
3
)=3,α,Aα,A
2
α线性无关.② 记P
一1
AP=B,则AP=PB,即(Aα,A
2
α,A
3
α)=(α,Aα,A
2
α)B.于是B是向量组Aα,A
2
α,A
3
α对α,Aα,A
2
α的表示矩阵.显然其第1,2两列分别为(0,1,0)
T
和(0,0,1)
T
.第3列是A
3
α对α,A
3
α,A
2
α的表示系数,设为c
1
,c
2
,c
3
,则P(c
1
,c
2
,c
3
)
T
=A
3
α, 注意A
3
α=α
1
+8α
2
+27α
3
,于是[*] 因为(α
1
,α
2
,α
3
)是可逆矩阵,所以有[*]用初等变换法求得c
1
=6,c
2
=一1 1,c
3
=6,于是[*]
解析
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考研数学二
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