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  3. 设f(x，y)=x3+y3-3x2-3y2，求f(x，y)的极值及其在x2+y2≤16上的最大值．

设f(x，y)=x3+y3-3x2-3y2，求f(x，y)的极值及其在x2+y2≤16上的最大值．

admin2019-08-27  25
问题 设f(x，y)=x3+y3-3x2-3y2，求f(x，y)的极值及其在x2+y2≤16上的最大值．
选项
答案[*] 即共有4个点(0，0)，(0，2)，(2，0)，(2，2)． [*] 在点(0，0)处，B2-AC=0-(-6)×(-6)=-36＜0且A=-6＜0，所以点(0，0)是一个极大值 点且极大值为f(0，0)=0； 同理，f(2，2)=-8是一个极小值；而f(0，2)与f(2，0)不是极值． 由上面讨论可知，f(x，y)在闭域D上的最大值，若在D内达到，则必是在(0，0)点取得，但也可能在D的边界上，故建立拉格朗日函数，令 [*] 则由 [*] 解得x=0，y=4；x=4，y=0；[*]． 因此，f(x，y)在D上的最大值为 [*]
解析 【思路探索】先求出函数f(x，y)在内的极值可疑点(xi，yi)(i=1，2，…，m)；再利用极值充分判别法判断每个可疑点是否为极值点，若是极值点，求出对应的极值；最后由拉格朗日乘数法求得f(x，y)在D的边界上的可疑极值，将以上所得函数值进行比较便可得结果．
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考研数学二

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