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  3. 设向量组(I)α1，α2，α3，α4线性无关，则和(I)等价的向量组是 ( )

设向量组(I)α1，α2，α3，α4线性无关，则和(I)等价的向量组是 ( )

admin2018-12-21  83
问题 设向量组(I)α1，α2，α3，α4线性无关，则和(I)等价的向量组是    (    )
选项 A、α1﹢α2，α2﹢α3，α3﹢α4．
B、α1﹢α2，α2﹢α3，α3﹢α4，α4﹢α1．
C、α1－α2，α2﹢α3，α3－α4，α4﹢α1．
D、α1，α1－α2，α2－α3，α3－α4，α4－α1．
答案D
解析 两个向量组可以相互表出两个向量组等价．
两个向量组等价等秩，但反之不成立，即等秩不一定等价，但不等秩必不等价．
法一    用排除法．
α1，α1，α3，α4线性无关，则r(α1，α2，α3，α4)＝4．
(A)：只有3个向量．r(α1﹢α2，α2﹢α3，α3﹢α4)≤3．(I)和(A)不等价．
(B)：因(α1﹢α2)－(α2﹢α3)﹢(α3﹢α4)－(α4﹢α11)＝0，向量组(B)线性相关．
r(α1﹢α2，α2﹢α3，α3﹢α4，α4﹢α1)≤3．故(I)和(B)不等价．
(C)：(α1－α2)﹢(α2﹢α3)－(α3－α4)一(α4﹢α1)＝0，向量组(C)线性相关．
r(α1－α2，α2﹢α3，α3－α4，α4﹢α1)≤3．故(I)和(C)也不等价．
由排除法知，应选(D)．
法二  对于选项(D)，令β1＝α1，β2＝α1－α2，β3＝α2－α3，
β4＝α3－α4，β5＝α4－α1，则α1＝β1，α2＝α1－β2＝β1－β2，α3＝α2－β3＝β1－β2－β3，α4＝α3－β4＝β1－β2－β3－β4，
故(I)和(D)可相互表出，是等价向量组，应选(D)．
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考研数学二

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