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设向量组(I)α1,α2,α3,α4线性无关,则和(I)等价的向量组是 ( )
设向量组(I)α1,α2,α3,α4线性无关,则和(I)等价的向量组是 ( )
admin
2018-12-21
92
问题
设向量组(I)α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,则和(I)等价的向量组是 ( )
选项
A、α
1
﹢α
2
,α
2
﹢α
3
,α
3
﹢α
4
.
B、α
1
﹢α
2
,α
2
﹢α
3
,α
3
﹢α
4
,α
4
﹢α
1
.
C、α
1
-α
2
,α
2
﹢α
3
,α
3
-α
4
,α
4
﹢α
1
.
D、α
1
,α
1
-α
2
,α
2
-α
3
,α
3
-α
4
,α
4
-α
1
.
答案
D
解析
两个向量组可以相互表出
两个向量组等价.
两个向量组等价
等秩,但反之不成立,即等秩不一定等价,但不等秩必不等价.
法一 用排除法.
α
1
,α
1
,α
3
,α
4
线性无关,则r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=4.
(A):只有3个向量.r(α
1
﹢α
2
,α
2
﹢α
3
,α
3
﹢α
4
)≤3.(I)和(A)不等价.
(B):因(α
1
﹢α
2
)-(α
2
﹢α
3
)﹢(α
3
﹢α
4
)-(α
4
﹢α
1
1)=0,向量组(B)线性相关.
r(α
1
﹢α
2
,α
2
﹢α
3
,α
3
﹢α
4
,α
4
﹢α
1
)≤3.故(I)和(B)不等价.
(C):(α
1
-α
2
)﹢(α
2
﹢α
3
)-(α
3
-α
4
)一(α
4
﹢α
1
)=0,向量组(C)线性相关.
r(α
1
-α
2
,α
2
﹢α
3
,α
3
-α
4
,α
4
﹢α
1
)≤3.故(I)和(C)也不等价.
由排除法知,应选(D).
法二 对于选项(D),令β
1
=α
1
,β
2
=α
1
-α
2
,β
3
=α
2
-α
3
,
β
4
=α
3
-α
4
,β
5
=α
4
-α
1
,则α
1
=β
1
,α
2
=α
1
-β
2
=β
1
-β
2
,α
3
=α
2
-β
3
=β
1
-β
2
-β
3
,α
4
=α
3
-β
4
=β
1
-β
2
-β
3
-β
4
,
故(I)和(D)可相互表出,是等价向量组,应选(D).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/L8j4777K
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考研数学二
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