2. 专升本
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，0≤f′(x)≤1，求证：[∫10f(x)dx]2≥∫10f3(x)dx。

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，0≤f′(x)≤1，求证：[∫10f(x)dx]2≥∫10f3(x)dx。

admin2018-08-06  19
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，0≤f′(x)≤1，求证：[∫10f(x)dx]2≥∫10f3(x)dx。
选项
答案首先证明不等式 [*](0≤x≤1)， 令F(x)=[*]， F′(x)=[*] =[*] 再令φ(x)=2[*]f(t)dt—f2(x)则 φ′(x)=2f(x)一2f(x)f′(x) =2f(x)[1一f′(x)]， 因为f(0)=0，f′(x)≥0，所以f(x)单增，当x≥0时，f(x)≥f(0)=0， 又0≤f′(x)≤1，于是φ′(x)≥0，由此φ(x)单增，当x≥0时，φ(x)≥φ(0)=0， 所以又有F′(x)≥0，由此F(x)单增，当x≥0时，F(x)≥F(0)=0，故F(1)≥0， 从而有[*]。
解析
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