设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，0≤f′(x)≤1，求证：[∫10f(x)dx]2≥∫10f3(x)dx。

admin2018-08-06 31

问题设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，0≤f′(x)≤1，求证：[∫¹₀f(x)dx]²≥∫¹₀f³(x)dx。

选项

答案首先证明不等式 [*](0≤x≤1)，令F(x)=[*]， F′(x)=[*] =[*] 再令φ(x)=2[*]f(t)dt—f²(x)则 φ′(x)=2f(x)一2f(x)f′(x) =2f(x)[1一f′(x)]，因为f(0)=0，f′(x)≥0，所以f(x)单增，当x≥0时，f(x)≥f(0)=0，又0≤f′(x)≤1，于是φ′(x)≥0，由此φ(x)单增，当x≥0时，φ(x)≥φ(0)=0，所以又有F′(x)≥0，由此F(x)单增，当x≥0时，F(x)≥F(0)=0，故F(1)≥0，从而有[*]。

解析

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