2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．

admin2016-09-30  52
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．
选项
答案不妨设f(a)＞0，f(b)＞0，[*]＜0，令(P(x)=e一xf(x)，则 φ’(x)=e一x[f’(x)一f(x)]． 因为φ(a)＞0，[*]＜0，φ(b)＞0，所以存在ξ1∈[*]，ξ2∈[*]， 使得φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得φ’(ξ)=0， 即e一ξ[f’(ξ)一f(ξ)]=0，因为e一ξ≠0，所以f’(ξ)=f(ξ)．
解析
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考研数学三

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