设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．

admin2016-09-30 54

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)

＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．

选项

答案不妨设f(a)＞0，f(b)＞0，[*]＜0，令(P(x)=e^一xf(x)，则 φ’(x)=e^一x[f’(x)一f(x)]．因为φ(a)＞0，[*]＜0，φ(b)＞0，所以存在ξ₁∈[*]，ξ₂∈[*]，使得φ(ξ₁)=φ(ξ₂)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ₁，ξ₂)[*](a，b)，使得φ’(ξ)=0，即e^一ξ[f’(ξ)一f(ξ)]=0，因为e^一ξ≠0，所以f’(ξ)=f(ξ)．

解析

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考研数学三

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证明下列关系式：A∪B=A∪(B-A)=(A-B)∪(B-A)∪(A∩B)．
如果n个事件A1，A2，…，An相互独立，证明：将其中任何m(1≤m≤n)个事件改为相应的对立事件，形成的新的n个事件仍然相互独立；
证明[*]
由概率的公理化定义证明：(1)P()=1-P(A)；(2)P(A-B)=P(A)-P(AB)．特别地，若A⊃B，则P(A-B)=P(A)-P(B)．且P(A)≥P(B)；(3)0≤P(A)≤1；(4)P(A∪B)
设f(x)是处处可导的奇函数，证明：对任－b＞0，总存在c∈(－b，b)使得fˊ(c)＝f(b)／b．
设函数f(x)＝(x2－3x＋2)sinx，则方程fˊ(x)＝0在(0，π)内根的个数为()。
求密度为常数μ，半径为R的球体x2＋y2＋z2≤R2对位于点(0，0，a)(a＞R)处单位质点的引力，并说明该引力如同将球的质量集中在球心时两质点间的引力．
根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性，并求出其中收敛级数的和：
自由落体位移与时间的关系设有一质量为m的物体，在空中由静止开始下落，如果空气的阻力为R＝c2v2(其中c为常数，v为物体运动的速率)，试求物体下落的距离s与时间t的函数关系．

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