设二阶常系数微分方程y’’+ay’+βy=ye2x有一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定a、β、γ和此方程的通解．

admin2022-04-08 36

问题设二阶常系数微分方程y^’’+ay^’+βy=ye^2x有一个特解为y=e^2x+(1+x)e^x，试确定a、β、γ和此方程的通解．

选项

答案由此方程的非齐次项含e^2x及特解形式知，e^2x是非齐次方程的特解，而由线性微分方程解的性质知(1+x)e^x应是其对应的齐次方程的解，故r=l为此方程的齐次方程的特征方程的二重根，故特征方程为r²-2r+1=0，由此得a=-2，β=1，故原方程为y^’’-2y^’+y=γe^2x，将e^x代入得γ=1，故得原方程为y^’’-2^’+y=e^2x，其通解为y=(C₁+C₂x)e^x+e^2x

解析

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