设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1， A（α1+α2）线性无关的充分必要条件是（）

admin2017-01-21 31

问题设λ₁，λ₂是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α₁，α₂，则α₁， A（α₁+α₂）线性无关的充分必要条件是（）

选项 A、λ₁≠0
B、λ₂≠0
C、λ₁=0
D、λ₂=0

答案B

解析令k₁α₁+k₂A（α₁+α₂）=0，则（k₁+k₂λ₁）α₁+k₂λ₂α₂=0。
因为α₁，α₂线性无关，所以k₁+k₂λ₁=0，且k₂λ₂=0。
当λ₂≠0时，显然有k₁=0，k₂=0，此时α₁，A（α₁+α₂）线性无关；反过来，若α₁，A（α₁+α₂）线性无关，则必然有λ₂≠0（否则，α₁与A（α₁+α₂）=λ₁α₁线性相关），故应选B。

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