设A为3阶非零矩阵，且满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij的代数余子式，则下列结论： ①A是可逆矩阵； ②A是对称矩阵； ③A是不可逆矩阵； ④A是正交矩阵．其中正确的个数为 ( )

admin2020-03-24 40

问题设A为3阶非零矩阵，且满足a_ij=A_ij(i，j=1，2，3)，其中A_ij为a_ij的代数余子式，则下列结论：
①A是可逆矩阵；
②A是对称矩阵；
③A是不可逆矩阵；
④A是正交矩阵．
其中正确的个数为 ( )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案B

解析由a_ij=A_ij(i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A^*=A^T，那么|A^*|=|A^T|，也即|A|²=|A|，即|A|(|A|一1)=0．
又由于A为非零矩阵，不妨设a₁₁≠0，则 |A|=a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃=a₁₁²+a₁₂²+a₁₃²＞0，故|A|=1．因此，A可逆．
并且AA^T=AA^*=|A|E=E，可知A是正交矩阵．可知①、④正确，③错误．
从题目中的条件无法判断A是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选(B)．

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考研数学三

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