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  3. 函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1且满足等式 f’(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0。 求导数f’(x)；

函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1且满足等式 f’(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0。 求导数f’(x)；

admin2019-06-09  47
问题 函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1且满足等式
f’(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0。
求导数f’(x)；
选项
答案为了求f’(x)，将f’(x)+f(x)－[*]∫0xf(t)dt=0两边同乘(x+1)，得 (x+1)f’(x)+(x+1)f(x)=∫0xf(t)dt=0， 两边对x求导，得 f’(x)+(x+1)f"(x)+f(x)+(x+1)f’(x)－f(x)=0， 即(x+1)f"(x)+(x+2)f’(x)=0。 上述方程为二阶可降阶微分方程，令u=f’(x)，化为(x+1)u’+(x+2)u=0，即 [*] 即ln|u|=－(x+ln(x+1))+C1，所以 [*] 再以x=0代入原方程f’(0)+f(0)－[*]∫00f(t)dt=f’(0)+f(0)=0，由f(0)=1，有f’(0)=－1，于是C=－1，f’(x)=－[*]
解析
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考研数学二

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