2. 考研
  3. 设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在，证明： (1)存在ξ∈(1，2)，使得 (2)存在η∈(1，2)，使得∫12f(t)dt=ξ(ξ-1)f’(η)ln2.

设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在，证明： (1)存在ξ∈(1，2)，使得 (2)存在η∈(1，2)，使得∫12f(t)dt=ξ(ξ-1)f’(η)ln2.

admin2019-09-04  43
问题 设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在，证明：
(1)存在ξ∈(1，2)，使得
(2)存在η∈(1，2)，使得∫12f(t)dt=ξ(ξ-1)f’(η)ln2.
选项
答案(1)令h(x)=lnx，F(x)=∫1xf(t)dt，且F’(x)=f(x)≠0， 由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得 [*] (2)由[*]得f(1)=0， 由拉格朗日中值定理得f(ξ)=f(ξ)-f(1)=f’(η)(ξ-1)，其中1＜η＜ξ， 故∫12f(t)dt=e(ξ-1)f’(η)ln2
解析
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考研数学三

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