微分方程y’’-2y’+2y=ex+2x的通解为_________.

admin2017-05-18  25

问题 微分方程y’’-2y’+2y=ex+2x的通解为_________.

选项

答案y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex+x+1

解析 这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程求通解问题.
    首先求y’’-2y’+2y=0的通解.y’’-2y’+2y=0的特征方程为r2-2r+2=0,特征根为r1,2=1±i,
所以其通解为Y=ex(C1cosx+C2sinx).
    其次求y’’-2y’+2y=ex+2x的一个特解.设y1*=Aex是y’’-2y’+2y=ex的一个特解,则
y1*’=y2*’’=Aex,将其代入到y’’-2y’+2y=ex并化简,得A=1,所以y1=ex
    设y2*=ax+b是y’’-2y’+2y=2x的一个特解,则y2*’=a,y2*’’=0,将其代入到y’’-2y’+2y=2x并化简,比较等式两边x同次幂的系数,得a=1,b=1,所以y2=x+1.故y*=y1*+y2*=ex+x+1是y’’-2y’+2y=ex+2x的一个特解.
    最后写出y’’-2y’+2y=ex+2x的通解,为
y=Y+y*=ex(C1cosx+C2sinx)+ex+x+1.
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