2. 考研
  3. 设三元二次型f(x1 ，x2 ，x3)=XrAX的正惯性指数p=1，且该二次型矩阵A满足A2+2A一3E=0，则在正交变换下该二次型的标准形是( )．

设三元二次型f(x1 ，x2 ，x3)=XrAX的正惯性指数p=1，且该二次型矩阵A满足A2+2A一3E=0，则在正交变换下该二次型的标准形是( )．

admin2020-02-27  31
问题 设三元二次型f(x1 ，x2 ，x3)=XrAX的正惯性指数p=1，且该二次型矩阵A满足A2+2A一3E=0，则在正交变换下该二次型的标准形是(     )．
选项 A、y12+2y22一3y32
B、y12一3y22一2y32
C、y12一y22一y32
D、y12一3y22一3y22
答案D
解析 先求出A的特征值，确定正、负惯性指数，再确定选项．
设λ是矩阵A的特征值，α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，
即    Aα=λα，α≠0．
那么由    (A2+2A一3E)α=0
有    (λ2+2λ一3)α=0，λ2+2λ一3=(λ+3) (λ一1)=0．
由此可知，矩阵A的特征值只能是1或一3．
因为A可逆，正惯性指数p=1，则负惯性指数必为2，所以A的特征值为
λ1=1，λ2=λ3=一3，
从而在正交变换下该二次型的标准形为
y12一3y22一3 y32．仅(D)入选．
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考研数学三

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