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设三元二次型f(x1 ，x2 ，x3)=XrAX的正惯性指数p=1，且该二次型矩阵A满足A2+2A一3E=0，则在正交变换下该二次型的标准形是( )．
设三元二次型f(x1 ，x2 ，x3)=XrAX的正惯性指数p=1，且该二次型矩阵A满足A2+2A一3E=0，则在正交变换下该二次型的标准形是( )．
admin
2020-02-27
33
问题
设三元二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=XrAX的正惯性指数p=1，且该二次型矩阵A满足A
2
+2A一3E=0，则在正交变换下该二次型的标准形是( )．
选项
A、y
1
2
+2y
2
2
一3y
3
2
B、y
1
2
一3y
2
2
一2y
3
2
C、y
1
2
一y
2
2
一y
3
2
D、y
1
2
一3y
2
2
一3y
2
2
答案
D
解析
先求出A的特征值，确定正、负惯性指数，再确定选项．
设λ是矩阵A的特征值，α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，
即 Aα=λα，α≠0．
那么由 (A
2
+2A一3E)α=0
有 (λ
2
+2λ一3)α=0，λ
2
+2λ一3=(λ+3) (λ一1)=0．
由此可知，矩阵A的特征值只能是1或一3．
因为A可逆，正惯性指数p=1，则负惯性指数必为2，所以A的特征值为
λ
1
=1，λ
2
=λ
3
=一3，
从而在正交变换下该二次型的标准形为
y
1
2
一3y
2
2
一3 y
3
2
．仅(D)入选．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/JtD4777K
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考研数学三
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