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设三元二次型f(x1 ,x2 ,x3)=XrAX的正惯性指数p=1,且该二次型矩阵A满足A2+2A一3E=0,则在正交变换下该二次型的标准形是( ).
设三元二次型f(x1 ,x2 ,x3)=XrAX的正惯性指数p=1,且该二次型矩阵A满足A2+2A一3E=0,则在正交变换下该二次型的标准形是( ).
admin
2020-02-27
38
问题
设三元二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=XrAX的正惯性指数p=1,且该二次型矩阵A满足A
2
+2A一3E=0,则在正交变换下该二次型的标准形是( ).
选项
A、y
1
2
+2y
2
2
一3y
3
2
B、y
1
2
一3y
2
2
一2y
3
2
C、y
1
2
一y
2
2
一y
3
2
D、y
1
2
一3y
2
2
一3y
2
2
答案
D
解析
先求出A的特征值,确定正、负惯性指数,再确定选项.
设λ是矩阵A的特征值,α是矩阵A属于特征值λ的特征向量,
即 Aα=λα,α≠0.
那么由 (A
2
+2A一3E)α=0
有 (λ
2
+2λ一3)α=0,λ
2
+2λ一3=(λ+3) (λ一1)=0.
由此可知,矩阵A的特征值只能是1或一3.
因为A可逆,正惯性指数p=1,则负惯性指数必为2,所以A的特征值为
λ
1
=1,λ
2
=λ
3
=一3,
从而在正交变换下该二次型的标准形为
y
1
2
一3y
2
2
一3 y
3
2
.仅(D)入选.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/JtD4777K
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考研数学三
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