设三元二次型f(x1 ，x2 ，x3)=XrAX的正惯性指数p=1，且该二次型矩阵A满足A2+2A一3E=0，则在正交变换下该二次型的标准形是( )．

admin2020-02-27 51

问题设三元二次型f(x₁ ，x₂ ，x₃)=XrAX的正惯性指数p=1，且该二次型矩阵A满足A²+2A一3E=0，则在正交变换下该二次型的标准形是( )．

选项 A、y₁²+2y₂²一3y₃²
B、y₁²一3y₂²一2y₃²
C、y₁²一y₂²一y₃²
D、y₁²一3y₂²一3y₂²

答案D

解析先求出A的特征值，确定正、负惯性指数，再确定选项．
设λ是矩阵A的特征值，α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，
即 Aα=λα，α≠0．
那么由 (A²+2A一3E)α=0
有 (λ²+2λ一3)α=0，λ²+2λ一3=(λ+3) (λ一1)=0．
由此可知，矩阵A的特征值只能是1或一3．
因为A可逆，正惯性指数p=1，则负惯性指数必为2，所以A的特征值为
λ₁=1，λ₂=λ₃=一3，
从而在正交变换下该二次型的标准形为
y₁²一3y₂²一3 y₃²．仅(D)入选．

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考研数学三

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