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  3. 设α1，…，αn—1，β1，β2均为n维实向量，α1，…，αn—1线性无关，且βj(j=1，2)与α1，…，αn—1均正交．证明：β1与β2线性相关．

设α1，…，αn—1，β1，β2均为n维实向量，α1，…，αn—1线性无关，且βj(j=1，2)与α1，…，αn—1均正交．证明：β1与β2线性相关．

admin2019-07-23  90
问题 设α1，…，αn—1，β1，β2均为n维实向量，α1，…，αn—1线性无关，且βj(j=1，2)与α1，…，αn—1均正交．证明：β1与β2线性相关．
选项
答案n+1个n维向量α1，…，αn—1，β1，β2，线性相关，故有不全为0的一组数k1，…，kn—1，kn，kn+1，使是k1α1+…+kn—1αn—1+knβ1+kn+1β2=0，且kn与kn+1不全为0(否则k1，…，kn—1不全为0，使是k1α1+…+kn—1αn—1=0，这与α1，…，αn—1线性无关矛盾)，用knβ1+kn+1β2与上面等式两端作内积，得‖knβ1+kn+1β2‖2=0，→knβ1+kn+1β2=0．且因kn和kn+1不全为0，知β1与β2线性相关．
解析
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考研数学一

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