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设α1,…,αn—1,β1,β2均为n维实向量,α1,…,αn—1线性无关,且βj(j=1,2)与α1,…,αn—1均正交.证明:β1与β2线性相关.
设α1,…,αn—1,β1,β2均为n维实向量,α1,…,αn—1线性无关,且βj(j=1,2)与α1,…,αn—1均正交.证明:β1与β2线性相关.
admin
2019-07-23
84
问题
设α
1
,…,α
n—1
,β
1
,β
2
均为n维实向量,α
1
,…,α
n—1
线性无关,且β
j
(j=1,2)与α
1
,…,α
n—1
均正交.证明:β
1
与β
2
线性相关.
选项
答案
n+1个n维向量α
1
,…,α
n—1
,β
1
,β
2
,线性相关,故有不全为0的一组数k
1
,…,k
n—1
,k
n
,k
n+1
,使是k
1
α
1
+…+k
n—1
α
n—1
+k
n
β
1
+k
n+1
β
2
=0,且k
n
与k
n+1
不全为0(否则k
1
,…,k
n—1
不全为0,使是k
1
α
1
+…+k
n—1
α
n—1
=0,这与α
1
,…,α
n—1
线性无关矛盾),用k
n
β
1
+k
n+1
β
2
与上面等式两端作内积,得‖k
n
β
1
+k
n+1
β
2
‖
2
=0,→k
n
β
1
+k
n+1
β
2
=0.且因k
n
和k
n+1
不全为0,知β
1
与β
2
线性相关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Jwc4777K
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考研数学一
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