2. 考研
  3. 就a的不同取值情况，确定方程lnx=xa(a＞0)实根的个数．

就a的不同取值情况，确定方程lnx=xa(a＞0)实根的个数．

admin2019-05-11  58
问题 就a的不同取值情况，确定方程lnx=xa(a＞0)实根的个数．
选项
答案令f(x)=lnx-xa，即讨论f(x)在(0，+∞)有几个零点．用单调性分析方法，求f(x)的单调区间． [*] 则当0＜x≤x0时，f(x)单调上升；当x≥x0时，f(x)单调 下降；当x=x0时，f(x)取最大值f(x0)=[*]．从而f(x)在(0，+∞)有几个零点，取决于y=f(x)属于图4．14中的哪种情形． [*] 方程f(x)=0的实根个数有下列三种情形： (Ⅰ)当f(x0)=[*]时，恒有f(x)＜0([*]∈(0，+∞))，故f(x)=0没有根． (Ⅱ)当f(x0)=[*](1+lna)=0即a=[*]时，由于x∈(0，+∞)，当x≠x0=ee时，f(x)＜0，故f(x)=0只有一个根，即x=x0=ee． (Ⅲ)当f(x0)=[*](1+lna)＞0即0＜a＜[*]时，因为 [*] 故方程f(x)=0在(0，x0)，(x0，+∞)各只有一个根．因此f(x)=0在(0，+∞)恰有两个根．
解析
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考研数学二

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