2. 考研
  3. 设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。 (Ⅰ)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积。 (Ⅱ)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f’(x)＞－2

设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。 (Ⅰ)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积。 (Ⅱ)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f’(x)＞－2

admin2018-04-14  68
问题 设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。
(Ⅰ)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积。
(Ⅱ)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f’(x)＞－2f(x)／x，证明(Ⅰ)中的x0是唯一的。
选项
答案(Ⅰ)要证存在x0∈(0，1)，使x0f(x0)=[*]f(x)dx；令 φ(x)=xf(x)－∫x1f(t)dt， 要证存在x0∈(0，1)，使φ(x0)=0。可以对φ(x)的原函数Ф(x)=∫0x。φ(t)dt使用罗尔定理： Ф(0)=0， Ф(1)=∫01φ(x)dx=∫01xf(x)dx－∫01[∫x1f(t)dt]dx =∫01xf(x)dx－[x∫x1f(t)dt|x=0x=1+∫01xf(x)dx]=0， 又由f(x)在[0，1]连续[*]φ(x)在[0，1]连续，Ф(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导。根据罗尔定理，存在x0∈(0，1)，使Ф’(x0)=φ(x0)=0。 (Ⅱ)由φ’(x)=xf’(x)+f(x)+f(x)=xf’(x)+2f(x)＞0，知φ(x)在(0，1)内单调增，故(Ⅰ)中的x0是唯一的。
解析
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考研数学二

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