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设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。 (Ⅰ)试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积。 (Ⅱ)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f’(x)>-2
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。 (Ⅰ)试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积。 (Ⅱ)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f’(x)>-2
admin
2018-04-14
91
问题
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。
(Ⅰ)试证存在x
0
∈(0,1),使得在区间[0,x
0
]上以f(x
0
)为高的矩形面积,等于在区间[x
0
,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积。
(Ⅱ)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f’(x)>-2f(x)/x,证明(Ⅰ)中的x
0
是唯一的。
选项
答案
(Ⅰ)要证存在x
0
∈(0,1),使x
0
f(x
0
)=[*]f(x)dx;令 φ(x)=xf(x)-∫
x
1
f(t)dt, 要证存在x
0
∈(0,1),使φ(x
0
)=0。可以对φ(x)的原函数Ф(x)=∫
0
x
。φ(t)dt使用罗尔定理: Ф(0)=0, Ф(1)=∫
0
1
φ(x)dx=∫
0
1
xf(x)dx-∫
0
1
[∫
x
1
f(t)dt]dx =∫
0
1
xf(x)dx-[x∫
x
1
f(t)dt|
x=0
x=1
+∫
0
1
xf(x)dx]=0, 又由f(x)在[0,1]连续[*]φ(x)在[0,1]连续,Ф(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导。根据罗尔定理,存在x
0
∈(0,1),使Ф’(x
0
)=φ(x
0
)=0。 (Ⅱ)由φ’(x)=xf’(x)+f(x)+f(x)=xf’(x)+2f(x)>0,知φ(x)在(0,1)内单调增,故(Ⅰ)中的x
0
是唯一的。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/TRk4777K
0
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