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(14年)设α1,α2,α3均为3维向量,则对任意常数k,l,向量组α1+kα3,α2+lα3线性无关是向量组α1,α2,α3线性无关的
(14年)设α1,α2,α3均为3维向量,则对任意常数k,l,向量组α1+kα3,α2+lα3线性无关是向量组α1,α2,α3线性无关的
admin
2019-05-06
32
问题
(14年)设α
1
,α
2
,α
3
均为3维向量,则对任意常数k,l,向量组α
1
+kα
3
,α
2
+lα
3
线性无关是向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关的
选项
A、必要非充分条件
B、充分非必要条件
C、充分必要条件
D、既非充分也非必要条件
答案
A
解析
记向量组(I):α
1
+kα
3
,α
2
+lα
3
;
向量组(Ⅱ):α
1
,α
2
,α
3
.
(I)是由(Ⅱ)线性表出的,写成矩阵形式即是:
[α
1
+kα
3
,α
2
+lα
3
]=[α
1
,α
2
,α
3
]
当(Ⅱ)线性无关时,矩阵[α
1
,α
2
,α
3
]为列满秩的,由于用列满秩阵左乘矩阵后,矩阵的秩不变,而矩阵
的秩为2,所以此时上式等号左边矩阵的秩也为2,也就是该矩阵的列秩为2,从而知向量组(I)线性无关,所以,(I)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要条件.
但(I)线性无关不是(Ⅱ)线性无关的充分条件,例如当k=l=0时,(I)线性无关即向量组α
1
,α
2
线性无关,却不能保证(Ⅱ)线性无关.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KC04777K
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考研数学一
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