设向量α1,α2,…αn—1是n—1个线性无关的n维列向量,ξ1,ξ2是与α1,α2,…αn—1均正交的n维非零列向量。证明: α1,α2,…αn—1,ξ1线性无关。

admin2019-05-11  33

问题 设向量α1,α2,…αn—1是n—1个线性无关的n维列向量,ξ1,ξ2是与α1,α2,…αn—1均正交的n维非零列向量。证明:
α1,α2,…αn—1,ξ1线性无关。

选项

答案设k1α1+k2α2+…+kn—1αn—1+k0ξ1=0,两边取转置得 k1α1T+k2α2T+…+kn—1αn—1T+k0ξ1T=0, 上式两端同时右乘ξ1,得 k1α1Tξ1+k2α2Tξ1+…+kn—1αn—1Tξ1+k0ξ1Tξ1=0, 注意到αiTξ1=0(i=1,2,…,n—1),所以k0ξ1Tξ1=0。由ξ1≠0可得ξ1Tξ1≠0,于是k0=0,从而有k1α1+k2α2+…+kn—1αn—1=0。又因为α1,α2,…,αn—1线性无关,所以k1=k2=…=kn—1=k0=0,故α1,α2,…,αn—1,ξ1线性无关。

解析
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