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  3. 设向量α1，α2，…αn—1是n—1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1，α2，…αn—1均正交的n维非零列向量。证明： α1，α2，…αn—1，ξ1线性无关。

设向量α1，α2，…αn—1是n—1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1，α2，…αn—1均正交的n维非零列向量。证明： α1，α2，…αn—1，ξ1线性无关。

admin2019-05-11  66
问题 设向量α1，α2，…αn—1是n—1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1，α2，…αn—1均正交的n维非零列向量。证明：
α1，α2，…αn—1，ξ1线性无关。
选项
答案设k1α1+k2α2+…+kn—1αn—1+k0ξ1=0，两边取转置得 k1α1T+k2α2T+…+kn—1αn—1T+k0ξ1T=0， 上式两端同时右乘ξ1，得 k1α1Tξ1+k2α2Tξ1+…+kn—1αn—1Tξ1+k0ξ1Tξ1=0， 注意到αiTξ1=0(i=1，2，…，n—1)，所以k0ξ1Tξ1=0。由ξ1≠0可得ξ1Tξ1≠0，于是k0=0，从而有k1α1+k2α2+…+kn—1αn—1=0。又因为α1，α2，…，αn—1线性无关，所以k1=k2=…=kn—1=k0=0，故α1，α2，…，αn—1，ξ1线性无关。
解析
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考研数学二

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