2. 考研
  3. 设函数f(x)和G(x)在[a，b]上连续，且在(a，b)内可导，则在(a，b)内存在点ξ，使得[f(b)-f(a)]g’(ξ)=[g(b)-g(a)]f’(ξ)．

设函数f(x)和G(x)在[a，b]上连续，且在(a，b)内可导，则在(a，b)内存在点ξ，使得[f(b)-f(a)]g’(ξ)=[g(b)-g(a)]f’(ξ)．

admin2022-11-23  38
问题 设函数f(x)和G(x)在[a，b]上连续，且在(a，b)内可导，则在(a，b)内存在点ξ，使得[f(b)-f(a)]g’(ξ)=[g(b)-g(a)]f’(ξ)．
选项
答案作辅助函数F(x)=f(x)[g(b-g(a)]-g(x)[f(b)-f(a)]，则 F(a)=f(a)g(b)-f(a)g(a)-g(a)f(b)+g(a)f(a)=f(a)g(b)-g(a)f(b)， F(b)=f(b)g(b)-f(b)g(a)-g(b)f(b)+8(b)f(a)=f(a)g(b)-g(a)f(b)， 即F(a)=F(b)．又F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导．由罗尔中值定理知，[*]ξ∈(a，b)，使得 F’(ξ)=0，即f’(ξ)[g(b)-g(a)]-g’(ξ)[f(b)-f(a)]=0．从而原等式成立．
解析
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考研数学三

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