证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根．

admin2022-10-31 14

问题证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根．

选项

答案设有一个奇次方程为 a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n=0．其中a₀≠0．不妨设a₀＞0，令 f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n，则 [*] 由[*]f(x)=+∞知，[*]x₁＞0，使得f(x₁)＞0．由[*]f(x)=-∞知，存在x₂＜0，使得f(x₂)＜0．于是f(x₁)与f(x₂)异号．由根的存在性定理知，f(x)=0在(x₂，x₁)内至少有一个根．故任一实系数奇次方程至少有一个实根．

解析

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