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  3. 设α1，α2，…，αn是n个n维列向量，已知齐次线性方程组 α1x1+α2x2+…+αnxn=0 只有零解，问齐次线性方程组 (α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+(αn+α1)xn=0 是否有非零解?若没

设α1，α2，…，αn是n个n维列向量，已知齐次线性方程组 α1x1+α2x2+…+αnxn=0 只有零解，问齐次线性方程组 (α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+(αn+α1)xn=0 是否有非零解?若没

admin2020-03-10  58
问题 设α1，α2，…，αn是n个n维列向量，已知齐次线性方程组
    α1x1+α2x2+…+αnxn=0
只有零解，问齐次线性方程组
    (α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+(αn+α1)xn=0
是否有非零解?若没有，说明理由；若有，求出其通解．
选项
答案齐次线性方程组 α1x1+α2x2+…+αnxn=0 只有零解，故其系数矩阵(记为A)的秩r(A)=r(α1，α2，…，αn)=n，则矩阵A是可逆方阵． 齐次线性方程组 (α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+(αn+α1)xn=0 (*) 的系数矩阵(记为B)和A有如下关系： [α1+α2，α2+α3，…，αn-1+αn，αn+α1]=[α1，α2，…，αn][*] 记为B=AC．因A可逆，故有r(B)=r(C)，而 [*] 当n=2k+1时，|C|=2≠0，故r(B)=r(C)=n，方程组(*)只有零解． 当n=2k时，|C|=0，故r(B)=r(C)＜n，方程组(*)有非零解． 当n=2k时，B=AC，A可逆．故Bx=0和Cx=0是同解方程组，故只需求解齐次线性方程组 Cx=0即可． 对C作初等行变换，将第i行的一1倍加到第i+1行(i=1，2，…，n一1)． [*] 知r(B)=r(C)=2k一1，Bx=0的基础解系为ξ=[1，一1，1，…，1，一1]T，故方程组(*)的通解为cξ=c[1，一1，1，…，1，一1]T，其中c是任意常数． 或由C知，C中有n一1阶子式Cn-1≠0，故r(B)=r(C)=2k一1，Bx=0有通解lξ． 由观察，因α1+α2一(α2+α3)+…一(α2k+α1)=0，则通解为l[1，一1，1，一1，…，一1]T，其中l是任意常数．
解析
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考研数学三

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