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设α1,α2,…,αn是n个n维列向量,已知齐次线性方程组 α1x1+α2x2+…+αnxn=0 只有零解,问齐次线性方程组 (α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+(αn+α1)xn=0 是否有非零解?若没
设α1,α2,…,αn是n个n维列向量,已知齐次线性方程组 α1x1+α2x2+…+αnxn=0 只有零解,问齐次线性方程组 (α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+(αn+α1)xn=0 是否有非零解?若没
admin
2020-03-10
90
问题
设α
1
,α
2
,…,α
n
是n个n维列向量,已知齐次线性方程组
α
1
x
1
+α
2
x
2
+…+α
n
x
n
=0
只有零解,问齐次线性方程组
(α
1
+α
2
)x
1
+(α
2
+α
3
)x
2
+…+(α
n-1
+α
n
)x
n-1
+(α
n
+α
1
)x
n
=0
是否有非零解?若没有,说明理由;若有,求出其通解.
选项
答案
齐次线性方程组 α
1
x
1
+α
2
x
2
+…+α
n
x
n
=0 只有零解,故其系数矩阵(记为A)的秩r(A)=r(α
1
,α
2
,…,α
n
)=n,则矩阵A是可逆方阵. 齐次线性方程组 (α
1
+α
2
)x
1
+(α
2
+α
3
)x
2
+…+(α
n-1
+α
n
)x
n-1
+(α
n
+α
1
)x
n
=0 (*) 的系数矩阵(记为B)和A有如下关系: [α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
n-1
+α
n
,α
n
+α
1
]=[α
1
,α
2
,…,α
n
][*] 记为B=AC.因A可逆,故有r(B)=r(C),而 [*] 当n=2k+1时,|C|=2≠0,故r(B)=r(C)=n,方程组(*)只有零解. 当n=2k时,|C|=0,故r(B)=r(C)<n,方程组(*)有非零解. 当n=2k时,B=AC,A可逆.故Bx=0和Cx=0是同解方程组,故只需求解齐次线性方程组 Cx=0即可. 对C作初等行变换,将第i行的一1倍加到第i+1行(i=1,2,…,n一1). [*] 知r(B)=r(C)=2k一1,Bx=0的基础解系为ξ=[1,一1,1,…,1,一1]
T
,故方程组(*)的通解为cξ=c[1,一1,1,…,1,一1]
T
,其中c是任意常数. 或由C知,C中有n一1阶子式C
n-1
≠0,故r(B)=r(C)=2k一1,Bx=0有通解lξ. 由观察,因α
1
+α
2
一(α
2
+α
3
)+…一(α
2k
+α
1
)=0,则通解为l[1,一1,1,一1,…,一1]
T
,其中l是任意常数.
解析
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考研数学三
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