计算二重积分x(y+1)dσ,其中积分区域D是由y轴与曲线y=,y=所围成。

admin2019-01-19  42

问题 计算二重积分x(y+1)dσ,其中积分区域D是由y轴与曲线y=,y=所围成。

选项

答案引入极坐标(r,θ)满足x=rcosθ,y=rsinθ,在极坐标(r,θ)中积分区域D可表示为 D={(r,θ)|0≤θ≤[*],2cosθ≤r≤2), 于是 [*]x(y+1)dσ=[*]rcosθ(rsinθ+1)rdr =[*] =[*]cosθsinθ(1一cos4θ)dθ+[*]cosθ(1一cos3θ)dθ =I+J。 其中, I=[*]-cosθsinθ(1一cos4θ)dθ =4∫01t(1一t4)dt=4[*], J=[*]cosθ(1一cos3θ)dθ=[*] =[*] 故 [*]

解析
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