计算二重积分x(y+1)dσ，其中积分区域D是由y轴与曲线y=，y=所围成。

admin2019-01-19 44

问题计算二重积分

x(y+1)dσ，其中积分区域D是由y轴与曲线y=

，y=

所围成。

选项

答案引入极坐标(r，θ)满足x=rcosθ，y=rsinθ，在极坐标(r，θ)中积分区域D可表示为 D={(r，θ)|0≤θ≤[*]，2cosθ≤r≤2)，于是 [*]x(y+1)dσ=[*]rcosθ(rsinθ+1)rdr =[*] =[*]cosθsinθ(1一cos⁴θ)dθ+[*]cosθ(1一cos³θ)dθ =I+J。其中， I=[*]-cosθsinθ(1一cos⁴θ)dθ =4∫₀¹t(1一t⁴)dt=4[*], J=[*]cosθ(1一cos³θ)dθ=[*] =[*] 故 [*]

解析

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