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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,当x>0时,f(x)>0.证明对任意自然数k,存在ξ∈(0,1),使
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,当x>0时,f(x)>0.证明对任意自然数k,存在ξ∈(0,1),使
admin
2016-01-25
108
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,当x>0时,f(x)>0.证明对任意自然数k,存在ξ∈(0,1),使
选项
答案
令F(x)=f(x)[f(1-x)]
k
,则 F(1)=f(1)[f(0)]
k
=0, F(0)=f(0)[f(1)]
k
=0. 由罗尔定理知,存在ξ∈(0,1)使得F′(ξ)=0,即 f′(ξ)[f(1一ξ)]
k
-k[_f(1一ξ)]
k-1
f′(1一ξ)f(ξ)=0. 整理即得 [*]
解析
将上式中的ξ改为x,并将上式改写为
f′(x)f(1一x)一kf(x)f′(1一x)=0.
令g(x)=[f(1-x)]
k
,应作辅助函数F(x)=f(x)g(x),则
F′(x)=[f(x)g(x)]′={f(x)[f(1一x)]
k
}′
=f′(x)[f(1-x)]
k
-k[f(1-x)]
k-1
f′(1一x)f(x).
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考研数学三
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