设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＞0．证明对任意自然数k，存在ξ∈(0，1)，使

admin2016-01-25 89

问题设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＞0．证明对任意自然数k，存在ξ∈(0，1)，使

选项

答案令F(x)＝f(x)[f(1－x)]^k，则 F(1)＝f(1)[f(0)]^k＝0， F(0)＝f(0)[f(1)]^k＝0．由罗尔定理知，存在ξ∈(0，1)使得F′(ξ)＝0，即 f′(ξ)[f(1一ξ)]^k－k[_f(1一ξ)]^k－1f′(1一ξ)f(ξ)＝0．整理即得 [*]

解析将上式中的ξ改为x，并将上式改写为
f′(x)f(1一x)一kf(x)f′(1一x)＝0．
令g(x)＝[f(1－x)]^k，应作辅助函数F(x)＝f(x)g(x)，则
F′(x)＝[f(x)g(x)]′＝｛f(x)[f(1一x)]^k｝′
＝f′(x)[f(1－x)]^k－k[f(1-x)]^k－1f′(1一x)f(x)．

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