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在xOy坐标平面上,连续曲线L过点M(1,0),其上任意点P(x,y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0)。 (Ⅰ)求L的方程; (Ⅱ)当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为时,确定a的值。
在xOy坐标平面上,连续曲线L过点M(1,0),其上任意点P(x,y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0)。 (Ⅰ)求L的方程; (Ⅱ)当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为时,确定a的值。
admin
2017-01-21
44
问题
在xOy坐标平面上,连续曲线L过点M(1,0),其上任意点P(x,y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0)。
(Ⅰ)求L的方程;
(Ⅱ)当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为
时,确定a的值。
选项
答案
(Ⅰ)设曲线L的方程为y=f(x),则由题设可得 [*] 这是一阶线性微分方程,其中 [*] 代入通解公式得 [*] 又f(1)=0,所以C=—a。 故曲线L的方程为 y=ax
2
—ax(x≠0)。 (Ⅱ)L与直线y=ax(a>0)所围成平面图形如图1—3—2所示。 [*] 所以 D=[ax—(ax
2
—ax)]dx, [*] 故a=2。
解析
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考研数学三
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