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  3. 设f(χ)在[1，＋∞)上可导，则( )

设f(χ)在[1，＋∞)上可导，则( )

admin2016-03-16  10
问题 设f(χ)在[1，＋∞)上可导，则(    )
选项 A、若f′(χ)＝0，则f(χ)在[1，＋∞)上有界
B、若f′(χ)＝0不成立，则f(χ)在[1，＋∞)上无界
C、若f′(χ)＝1，则f(χ)在[1，＋∞)上有界
D、若f′(χ)＝1，则f(χ)在[1，＋∞)上无界
答案D
解析 若f′(χ)＝1，则由极限的保号性可知，ョX＞1，使得当χ＞X时，有
    f′(χ)＞．这样，当χ＞X时，由拉格朗日中值定理可得
    f(χ)－f(X)＝f′(ξ)(χ－X)，其中X＜ξ＜χ，故有
    f(χ)＞f(X)＋(χ－X)，令χ→＋∞可知f(χ)→∞，故f(χ)在[1，＋∞]上无界．
可知选项D是正确的．
    选项A的反例：f(χ)＝＝0，而f(χ)在[1，＋∞]上显然无界．
    选项B的反例：f′(χ)＝0不成立也有可能是f′(χ)不存在，这种情况下反例就比较好举了，例如令f(χ)＝sinχ．
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考研数学二

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