2. 考研
  3. (2002年)设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)|x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起

(2002年)设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)|x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起

admin2018-07-01  81
问题 (2002年)设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)|x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy
现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点．也就是说，要在D的边界曲线x2+y2一xy=75上找出使(1)中的g(x，y)达到最大值的点．试确定攀登起点的位置．
选项
答案令f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2一8xy 由题意，只需求f(x，y)在约束条件75一x2一y2+xy=0下的最大值点．令 L(x，y，λ)=5x2+5y2一8xy+λ(75一x2一y2+xy) 则 [*] ①式与②式相加可得 (x+y)(2一λ)=0 从而得y=一x或λ=2 若λ=2，则由①式得y=x，再由③式得[*] 若y=一x，则由③式得x=±5，[*]． 于是得到四个可能的极值点 M1(5，一5)，M2(一5．5)，[*] 由于f(M1)=f(M2)=450，f(M3)=f(M4)=150 故 M1(5，一5)或M2(一5，5)可作为攀登的起点．
解析
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考研数学一

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