(2002年)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y)|x2+y2一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75一x2一y2+xy 现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起

admin2018-07-01  27

问题 (2002年)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y)|x2+y2一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75一x2一y2+xy
现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在D的边界曲线x2+y2一xy=75上找出使(1)中的g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.

选项

答案令f(x,y)=g2(x,y)=5x2+5y2一8xy 由题意,只需求f(x,y)在约束条件75一x2一y2+xy=0下的最大值点.令 L(x,y,λ)=5x2+5y2一8xy+λ(75一x2一y2+xy) 则 [*] ①式与②式相加可得 (x+y)(2一λ)=0 从而得y=一x或λ=2 若λ=2,则由①式得y=x,再由③式得[*] 若y=一x,则由③式得x=±5,[*]. 于是得到四个可能的极值点 M1(5,一5),M2(一5.5),[*] 由于f(M1)=f(M2)=450,f(M3)=f(M4)=150 故 M1(5,一5)或M2(一5,5)可作为攀登的起点.

解析
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