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(2005年)设X1,X2,…,Xn(n>2)为来自总体N(0,σ2)的简单随机样本,为样本均值,记Yi=Xi-,i=1,2,…,n。 (Ⅰ)求Yi的方差D(Yi),i=1,2,…,n; (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn); (Ⅲ)若c(Y1+
(2005年)设X1,X2,…,Xn(n>2)为来自总体N(0,σ2)的简单随机样本,为样本均值,记Yi=Xi-,i=1,2,…,n。 (Ⅰ)求Yi的方差D(Yi),i=1,2,…,n; (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn); (Ⅲ)若c(Y1+
admin
2021-01-25
42
问题
(2005年)设X
1
,X
2
,…,X
n
(n>2)为来自总体N(0,σ
2
)的简单随机样本,
为样本均值,记Y
i
=X
i
-
,i=1,2,…,n。
(Ⅰ)求Y
i
的方差D(Y
i
),i=1,2,…,n;
(Ⅱ)求Y
1
与Y
n
的协方差Cov(Y
1
,Y
n
);
(Ⅲ)若c(Y
1
+Y
n
)
2
是σ
2
的无偏估计量,求常数c。
选项
答案
由题设,知X
1
,X
2
,…,X
n
(n>2)相互独立,且 E(X
i
)=0,D(X
i
)=σ
2
(i=1,2,…,n),[*]=0。 (Ⅰ)Y
i
=X
i
-[*]X
j
, [*] (Ⅱ)Cov(Y
1
,Y
n
)=Cov(X
1
-[*],X
n
-[*]) =Cov(X
1
,X
n
)-Cov(X
1
,[*] 而Cov(X
1
,X
n
)=0, Cov(X
1
,[*][Cov(X
1
,X
1
)+Cov(X
1
,X
2
)+…+Cov(X
1
,X
n
)] =[*]D(X
1
)=σ
2
/n, 同理Cov(X
n
,[*])=σ
2
/n。 [*] 故 Cov(Y
1
,Y
n
)=-2σ
2
/n+σ
2
/n=-σ
2
/n (Ⅲ)E[c(Y
1
+Y
n
)
2
]=cD(Y
1
+Y
n
) =c[D(Y
1
)+D(Y
n
)+2Cov(Y
1
,Y
n
)] [*] 故 [*]
解析
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考研数学三
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