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(2005年)设X1，X2，…，Xn(n＞2)为来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，为样本均值，记Yi=Xi-，i=1，2，…，n。 (Ⅰ)求Yi的方差D(Yi)，i=1，2，…，n； (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1，Yn)； (Ⅲ)若c(Y1+
(2005年)设X1，X2，…，Xn(n＞2)为来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，为样本均值，记Yi=Xi-，i=1，2，…，n。 (Ⅰ)求Yi的方差D(Yi)，i=1，2，…，n； (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1，Yn)； (Ⅲ)若c(Y1+
admin
2021-01-25
43
问题
(2005年)设X
1
，X
2
，…，X
n
(n＞2)为来自总体N(0，σ
2
)的简单随机样本，
为样本均值，记Y
i
=X
i
-
，i=1，2，…，n。
(Ⅰ)求Y
i
的方差D(Y
i
)，i=1，2，…，n；
(Ⅱ)求Y
1
与Y
n
的协方差Cov(Y
1
，Y
n
)；
(Ⅲ)若c(Y
1
+Y
n
)
2
是σ
2
的无偏估计量，求常数c。
选项
答案
由题设，知X
1
，X
2
，…，X
n
(n＞2)相互独立，且 E(X
i
)=0，D(X
i
)=σ
2
(i=1，2，…，n)，[*]=0。 (Ⅰ)Y
i
=X
i
-[*]X
j
， [*] (Ⅱ)Cov(Y
1
，Y
n
)=Cov(X
1
-[*]，X
n
-[*]) =Cov(X
1
，X
n
)-Cov(X
1
，[*] 而Cov(X
1
，X
n
)=0， Cov(X
1
，[*][Cov(X
1
，X
1
)+Cov(X
1
，X
2
)+…+Cov(X
1
，X
n
)] =[*]D(X
1
)=σ
2
／n， 同理Cov(X
n
，[*])=σ
2
／n。 [*] 故 Cov(Y
1
，Y
n
)=-2σ
2
／n+σ
2
／n=-σ
2
／n (Ⅲ)E[c(Y
1
+Y
n
)
2
]=cD(Y
1
+Y
n
) =c[D(Y
1
)+D(Y
n
)+2Cov(Y
1
，Y
n
)] [*] 故 [*]
解析
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考研数学三
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