2. 考研
  3. 设p(x)、q(x)、f(x)均是关于x的已知连续函数，y1(x)、y2(x)、y3(x)是y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1、C2是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是 ( )

设p(x)、q(x)、f(x)均是关于x的已知连续函数，y1(x)、y2(x)、y3(x)是y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1、C2是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是 ( )

admin2016-07-22  50
问题 设p(x)、q(x)、f(x)均是关于x的已知连续函数，y1(x)、y2(x)、y3(x)是y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1、C2是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是    (    )
选项 A、C1y1+(C2－C1)y2+(1－C2)y3．
B、(C1－C2)y1+(C2－1)y2+(1－C1)y3．
C、(C1+C2)y1+(C1－C2)y2+(1－C1)y3．
D、C1y1+C2y2+(1－C1－C2)y3．
答案B
解析 将(B)改写为C1(y1－y3)+C2(y2－y1)+(y3－y2)．因为y1、y2、y3均是y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的解，所以y1－y3、y2－y1是y″+p(x)y′+q(x)y=0的解，并且y1－y3、y2－y1线性无关．事实上，若它们线性相关，则存在不全为零的k1与k2，使得k1(y1－y3)+k2(y2－y1)=0，即
－k1y3+k2y2+(k1－k2)y1=0．
由于题设y1、y2、y3线性无关，故k1=0，k2=0，k1－k2=0与k1，k2不全为零矛盾．于是推知C1(y1－y3)+C2(y3－y1)为对应的齐次方程的通解，而y3－y2也是对应齐次方程的一个解，它包含于C1(y1－y3)+C2(y2－y1)之中，所以C1(y1－y3)+C2(y2－y1)+(y3－y2)，即(B)也是该非齐次方程对应的齐次方程的通解．故应选(B)．
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考研数学二

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