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设p(x)、q(x)、f(x)均是关于x的已知连续函数，y1(x)、y2(x)、y3(x)是y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1、C2是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是 ( )
设p(x)、q(x)、f(x)均是关于x的已知连续函数，y1(x)、y2(x)、y3(x)是y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1、C2是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是 ( )
admin
2016-07-22
66
问题
设p(x)、q(x)、f(x)均是关于x的已知连续函数，y
1
(x)、y
2
(x)、y
3
(x)是y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C
1
、C
2
是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是 ( )
选项
A、C
1
y
1
+(C
2
－C
1
)y
2
+(1－C
2
)y
3
．
B、(C
1
－C
2
)y
1
+(C
2
－1)y
2
+(1－C
1
)y
3
．
C、(C
1
+C
2
)y
1
+(C
1
－C
2
)y
2
+(1－C
1
)y
3
．
D、C
1
y
1
+C
2
y
2
+(1－C
1
－C
2
)y
3
．
答案
B
解析
将(B)改写为C
1
(y
1
－y
3
)+C
2
(y
2
－y
1
)+(y
3
－y
2
)．因为y
1
、y
2
、y
3
均是y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的解，所以y
1
－y
3
、y
2
－y
1
是y″+p(x)y′+q(x)y=0的解，并且y
1
－y
3
、y
2
－y
1
线性无关．事实上，若它们线性相关，则存在不全为零的k
1
与k
2
，使得k
1
(y
1
－y
3
)+k
2
(y
2
－y
1
)=0，即
－k
1
y
3
+k
2
y
2
+(k
1
－k
2
)y
1
=0．
由于题设y
1
、y
2
、y
3
线性无关，故k
1
=0，k
2
=0，k
1
－k
2
=0与k
1
，k
2
不全为零矛盾．于是推知C
1
(y
1
－y
3
)+C
2
(y
3
－y
1
)为对应的齐次方程的通解，而y
3
－y
2
也是对应齐次方程的一个解，它包含于C
1
(y
1
－y
3
)+C
2
(y
2
－y
1
)之中，所以C
1
(y
1
－y
3
)+C
2
(y
2
－y
1
)+(y
3
－y
2
)，即(B)也是该非齐次方程对应的齐次方程的通解．故应选(B)．
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考研数学二
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