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已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( ).
已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( ).
admin
2016-03-25
21
问题
已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( ).
选项
A、既不充分也不必要条件
B、充分而不必要条件
C、必要而不充分条件
D、充要条件
答案
D
解析
由题意,f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)为[0,1]上的增函数,所以f(x)为[-1,0]上的减函数,又f(x)是定义在R上的函数,且以2为周期,[3,4]与[-1,0]相差两个周期,故两区间上的单调性一致,所以可以得出f(x)为[3,4]上的减函数,故充分性成立,若f(x)为[3,4]上的减函数,由周期性可得出f(x)在[-1,0]上是减函数,再由函数是偶函数可得出f(x)为[0,1]上的增函数,故必要性成立.综上,“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件.
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