2. 考研
  3. 设有方程yˊ+P(x)y=x2，其中P(x)=，试求在(－∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(－∞，1)和(1，+∞)内都满足方程，且满足初值条件y(0)=2．

设有方程yˊ+P(x)y=x2，其中P(x)=，试求在(－∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(－∞，1)和(1，+∞)内都满足方程，且满足初值条件y(0)=2．

admin2016-09-13  117
问题 设有方程yˊ+P(x)y=x2，其中P(x)=，试求在(－∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(－∞，1)和(1，+∞)内都满足方程，且满足初值条件y(0)=2．
选项
答案本题虽是基础题，但其特色在于当z的取值范围不同时，系数P(x)不同，这样所求解的方程就不一样，解的形式自然也会不一样，最后要根据解y=y(x)是连续函数，确定任意常数． 当x≤1时，方程及其初值条件为[*]求解得 y=e－∫1dx(∫x2e∫1dxdx+C)=e－x(∫x2exdx+C)=x2－2x+2+Ce－x． 由y(0)=2得C=0，故y=x2－2x+2． 当x＞1时，方程为yˊ+[*]y=x2，求解得 [*] 综上，得 [*] 又y(x)在(－∞，+∞)内连续，有f(1－)=f(1+)=f(1)，即1－2+2=[*]+C，从而C=[*]． 所以 [*]
解析
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考研数学三

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