设随机变量X的概率密度为f(χ)= 令随机变量Y= (Ⅰ)求y的分布函数; (Ⅱ)求概率P{X≤Y}.

admin2018-07-30  49

问题 设随机变量X的概率密度为f(χ)=
    令随机变量Y=
    (Ⅰ)求y的分布函数;
    (Ⅱ)求概率P{X≤Y}.

选项

答案(Ⅰ)Y的分布函数为FY(y)=P(Y≤y) Y<1时,FY(y)=0; y≥2时,FY(y)=1; 1≤Y<2时, FY(y)=P(Y≤y|X≤1)P(X≤1)+P(Y≤y|1<X<2)P(1<X<2)+P(Y≤y|X≥2)P(X≥2) 而P(Y≤y|X≤1)=P(2≤y|X≤1)=0,P(Y≤y|X≥2)=P(1≤y|X≥2)=1, P(Y≤y|1<X<2)=P(X≤y|1<X<2)=[*] 代入得FY(y)=P(1<X≤y)+P(X>2) =[*] 故Fy(y)=[*] (Ⅱ)P(X≤Y)=P(X≤Y{X≤1)P(X≤1)+P(X≤y|1<X<2)P(1<X<2)+P(X≤Y|X≥2)P(X≥2) 而P(X≤Y|X≤1)=P(X≤2|X≤1)=[*]=1, P(X≤Y|1<X<2)=P(X≤X{1<X<2)=[*]=1, P(X≤Y|X≥2)=P(X≤1|X≥2)=[*]=0, 代入得P(X≤Y)=P(X≤1)+P(1<X<2)=P(X<2)=[*]

解析
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