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  3. 设随机变量X的概率密度为f(χ)＝ 令随机变量Y＝ (Ⅰ)求y的分布函数； (Ⅱ)求概率P{X≤Y}．

设随机变量X的概率密度为f(χ)＝ 令随机变量Y＝ (Ⅰ)求y的分布函数； (Ⅱ)求概率P{X≤Y}．

admin2018-07-30  54
问题 设随机变量X的概率密度为f(χ)＝
    令随机变量Y＝
    (Ⅰ)求y的分布函数；
    (Ⅱ)求概率P{X≤Y}．
选项
答案(Ⅰ)Y的分布函数为FY(y)＝P(Y≤y) Y＜1时，FY(y)＝0； y≥2时，FY(y)＝1； 1≤Y＜2时， FY(y)＝P(Y≤y｜X≤1)P(X≤1)＋P(Y≤y｜1＜X＜2)P(1＜X＜2)＋P(Y≤y｜X≥2)P(X≥2) 而P(Y≤y｜X≤1)＝P(2≤y｜X≤1)＝0，P(Y≤y｜X≥2)＝P(1≤y｜X≥2)＝1， P(Y≤y｜1＜X＜2)＝P(X≤y｜1＜X＜2)＝[*] 代入得FY(y)＝P(1＜X≤y)＋P(X＞2) ＝[*] 故Fy(y)＝[*] (Ⅱ)P(X≤Y)＝P(X≤Y{X≤1)P(X≤1)＋P(X≤y｜1＜X＜2)P(1＜X＜2)＋P(X≤Y｜X≥2)P(X≥2) 而P(X≤Y｜X≤1)＝P(X≤2｜X≤1)＝[*]＝1， P(X≤Y｜1＜X＜2)＝P(X≤X{1＜X＜2)＝[*]＝1， P(X≤Y｜X≥2)＝P(X≤1｜X≥2)＝[*]＝0， 代入得P(X≤Y)＝P(X≤1)＋P(1＜X＜2)＝P(X＜2)＝[*]
解析
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考研数学一

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