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设随机变量X与Y相互独立,且都服从[0,1]上的均匀分布,试求: (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u); (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(υ)。
设随机变量X与Y相互独立,且都服从[0,1]上的均匀分布,试求: (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u); (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(υ)。
admin
2017-01-21
55
问题
设随机变量X与Y相互独立,且都服从[0,1]上的均匀分布,试求:
(Ⅰ)U=XY的概率密度f
U
(u);
(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度f
V
(υ)。
选项
答案
根据X与Y相互独立且密度函数已知,因此可以用两种方法:分布函数法和公式法求出U、V的概率密度。 (Ⅰ)分布函数法。根据题设知(X,Y)联合概率密度 f(x,y)=f
X
(x)f
Y
(y)=[*] 所以U=XY的分布函数为(如图3—3—9所示) F
U
(M)=P{XY≤u}=[*] (1)当u≤0时,F
U
(u)=0;当u≥1时,F
U
(u)=1; (2)当0<u<1时, [*] (Ⅱ)公式法。设Z=X—Y=X+(—Y)。其中X与(—Y)独立,概率密度分别为 [*] 根据卷积公式得Z的概率密度 f
Z
(z)=∫
—∞
+≥
(x—y)f
—Y
(y)dy=∫
—1
0
f
X
(x—y)dy [*] V=|X—Y|=|Z|的分布函数为F
V
(v)=P{|Z|≤υ},可得 当υ≤0时,F
V
(υ)=0;当υ>0时,F
V
(υ)=P{—v≤Z≤υ}=∫
—υ
υ
(z)dz。 由此知,当0<υ<1时, F
V
(υ)=∫
—υ
—1
(z+l)dz+ ∫
0
τ
(1—z)dz=2υ一υ
2
; 当υ≥1时, F
V
(υ)=∫
—υ
—1
0dz+∫
—1
0
(z+1)出+∫
0
1
(1一z)dz+∫
1
υ
0dz=1。 综上可得 [*]
解析
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考研数学三
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