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  3. 设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0，1]上的均匀分布，试求： （Ⅰ）U=XY的概率密度fU（u）； （Ⅱ）V=|X—Y|的概率密度fV（υ）。

设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0，1]上的均匀分布，试求： （Ⅰ）U=XY的概率密度fU（u）； （Ⅱ）V=|X—Y|的概率密度fV（υ）。

admin2017-01-21  57
问题 设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0，1]上的均匀分布，试求：
（Ⅰ）U=XY的概率密度fU（u）；
（Ⅱ）V=|X—Y|的概率密度fV（υ）。
选项
答案根据X与Y相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分布函数法和公式法求出U、V的概率密度。 （Ⅰ）分布函数法。根据题设知（X，Y）联合概率密度 f（x，y）=fX（x）fY（y）=[*] 所以U=XY的分布函数为（如图3—3—9所示） FU（M）=P{XY≤u}=[*] （1）当u≤0时，FU（u）=0；当u≥1时，FU（u）=1； （2）当0＜u＜1时， [*] （Ⅱ）公式法。设Z=X—Y=X+（—Y）。其中X与（—Y）独立，概率密度分别为 [*] 根据卷积公式得Z的概率密度 fZ（z）=∫—∞+≥（x—y）f—Y（y）dy=∫—10fX（x—y）dy [*] V=|X—Y|=|Z|的分布函数为FV（v）=P{|Z|≤υ}，可得 当υ≤0时，FV（υ）=0；当υ＞0时，FV（υ）=P{—v≤Z≤υ}=∫—υυ（z）dz。 由此知，当0＜υ＜1时， F V（υ）=∫—υ—1（z+l）dz+ ∫0τ（1—z）dz=2υ一υ2； 当υ≥1时， FV（υ）=∫—υ—1 0dz+∫—10（z+1）出+∫01（1一z）dz+∫1υ0dz=1。 综上可得 [*]
解析
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考研数学三

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