设随机变量X与Y相互独立,且都服从[0,1]上的均匀分布,试求: (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u); (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(υ)。

admin2017-01-21  35

问题 设随机变量X与Y相互独立,且都服从[0,1]上的均匀分布,试求:
(Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u);
(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(υ)。

选项

答案根据X与Y相互独立且密度函数已知,因此可以用两种方法:分布函数法和公式法求出U、V的概率密度。 (Ⅰ)分布函数法。根据题设知(X,Y)联合概率密度 f(x,y)=fX(x)fY(y)=[*] 所以U=XY的分布函数为(如图3—3—9所示) FU(M)=P{XY≤u}=[*] (1)当u≤0时,FU(u)=0;当u≥1时,FU(u)=1; (2)当0<u<1时, [*] (Ⅱ)公式法。设Z=X—Y=X+(—Y)。其中X与(—Y)独立,概率密度分别为 [*] 根据卷积公式得Z的概率密度 fZ(z)=∫—∞+≥(x—y)f—Y(y)dy=∫—10fX(x—y)dy [*] V=|X—Y|=|Z|的分布函数为FV(v)=P{|Z|≤υ},可得 当υ≤0时,FV(υ)=0;当υ>0时,FV(υ)=P{—v≤Z≤υ}=∫—υυ(z)dz。 由此知,当0<υ<1时, F V(υ)=∫—υ—1(z+l)dz+ ∫0τ(1—z)dz=2υ一υ2; 当υ≥1时, FV(υ)=∫—υ—1 0dz+∫—10(z+1)出+∫01(1一z)dz+∫1υ0dz=1。 综上可得 [*]

解析
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