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  3. 设方程xn+nx一1=0，其中n为正整数．证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数收敛．

设方程xn+nx一1=0，其中n为正整数．证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数收敛．

admin2017-11-13  20
问题 设方程xn+nx一1=0，其中n为正整数．证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数收敛．
选项
答案记fn(x)=xn+nx一1．由fn(0)=一1＜0，fn(1)=n＞0，于是由连续函数的介值定理知，方程xn+nx一1=0存在正实数根xn∈(0，1)． 当x＞0时，f’n(x)=nxn—1+n＞0，可见fn(x)在[0，+∞)上单调增加，故方程xn+nx一1=0存在唯一正实数根xn． 由xn+nx一1=0与xn＞0知 [*]
解析
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考研数学一

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