设矩阵A是秩为2的4阶矩阵,又α1,α2,α3是线性方程组Ax=b的解,且α1+α2—α3=(2,0,—5,4)T,α2+2α3=(3,12,3,3)T,α3—2α1=(2,4,1,一2)T,则方程组Ax=b的通解x=___

admin2022-04-08  33

问题 设矩阵A是秩为2的4阶矩阵,又α1,α2,α3是线性方程组Ax=b的解,且α12—α3=(2,0,—5,4)T,α2+2α3=(3,12,3,3)T,α3—2α1=(2,4,1,一2)T,则方程组Ax=b的通解x=___

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案A

解析 由于n—r(A)=4—2=2,故方程组Ax=b的通解形式应为α+k1η1+k2η2.这样可排除(C),(D).
    因为A2+2α3)=b,a(α3—2α1)=一b,所以A中(1,4,1,1)T和B中(一2,一4,一1,2)T都是方程组Ax=b的解.(A)和B中均有(2,2,一2,1)T,因此它必是Ax=0的解.只要检验(1,一4,一6,3)T和(1,8,2,5)T哪一个是Ax=0的解就可以了.
    由于3(α12—α3)一(α2+2α3)=3(α1—α3)+2(α2—α3)是Ax=0的解,所以(3,一12,一18,9)T是Ax=0的解.那么(1,一4,一6,3)T是Ax=0的解.故应选A.
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